已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且·>

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已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围．

答案

（1）－y²＝1
（2）(－1，－)∪(，1)

解析

(1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)．
由已知得a＝，c＝2，再由c²＝a²＋b²得b²＝1，
所以双曲线C的方程为－y²＝1．
(2)将y＝kx＋代入－y²＝1中，整理得(1－3k²)x²－6kx－9＝0，
由题意得
，
故k²≠且k²<1　①．
设A(x_A，y_A)，B(x_B，y_B)，则x_A＋x_B＝，x_Ax_B＝，
由·>2得x_Ax_B＋y_Ay_B>2，
x_Ax_B＋y_Ay_B＝x_Ax_B＋(kx_A＋)(kx_B＋)＝(k²＋1)x_Ax_B＋k(x_A＋x_B)＋2＝(k²＋1)·＋k·＋2＝，
于是>2，即>0，解得<k²<3　②．
由①②得<k²<1，
所以k的取值范围为(－1，－)∪(，1)．