(本小题满分14分)已知抛物线的焦点为,为上异于原点的任意一点,过点的直线交于另一点,交轴的正半轴于点,且有.当点的横坐标为时,为正三角形.(Ⅰ)求的方程;(Ⅱ

(本小题满分14分)已知抛物线的焦点为,为上异于原点的任意一点,过点的直线交于另一点,交轴的正半轴于点,且有.当点的横坐标为时,为正三角形.(Ⅰ)求的方程;(Ⅱ

题型:不详难度:来源:
(本小题满分14分)
已知抛物线的焦点为上异于原点的任意一点,过点的直线于另一点,交轴的正半轴于点,且有.当点的横坐标为时,为正三角形.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)若直线,且有且只有一个公共点
(ⅰ)证明直线过定点,并求出定点坐标;
(ⅱ)的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
答案
(I).(II)(ⅰ)直线AE过定点.(ⅱ)的面积的最小值为16.
解析

试题分析:(I)由抛物线的定义知
解得(舍去).得.抛物线C的方程为.
(II)(ⅰ)由(I)知

可得,即,直线AB的斜率为
根据直线和直线AB平行,可设直线的方程为
代入抛物线方程得
整理可得
直线AE恒过点.
注意当时,直线AE的方程为,过点
得到结论:直线AE过定点.
(ⅱ)由(ⅰ)知,直线AE过焦点
得到
设直线AE的方程为
根据点在直线AE上,
得到,再设,直线AB的方程为
可得
代入抛物线方程得
可求得
应用点B到直线AE的距离为.
从而得到三角形面积表达式,应用基本不等式得到其最小值.
试题解析:(I)由题意知
,则FD的中点为
因为
由抛物线的定义知:
解得(舍去).
,解得.
所以抛物线C的方程为.
(II)(ⅰ)由(I)知

因为,则
,故
故直线AB的斜率为
因为直线和直线AB平行,
设直线的方程为
代入抛物线方程得
由题意,得.
,则.
时,
可得直线AE的方程为

整理可得
直线AE恒过点.
时,直线AE的方程为,过点
所以直线AE过定点.
(ⅱ)由(ⅰ)知,直线AE过焦点
所以
设直线AE的方程为
因为点在直线AE上,


直线AB的方程为
由于
可得
代入抛物线方程得
所以
可求得
所以点B到直线AE的距离为


.
的面积
当且仅当时等号成立.
所以的面积的最小值为16.
举一反三
为抛物线的焦点,直线与其交于两点,与轴交于点,且以为直径的圆过原点,则等于(  )
.          .        .         .
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设曲线与直线相切,则________ 
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已知点P是抛物线上的点,设点P到抛物线准线的距离为,到圆上一动点Q的距离为的最小值是       
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(14分)已知抛物线的焦点F,直线l过点
(1)若点F到直线l的距离为,求直线l的斜率;
(2)设A,B为抛物线上两点,且AB不与x轴垂直,若线段AB的垂直平分线恰过点M,求证:线段AB中点的横坐标为定值。
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设抛物线的顶点在原点,准线方程为,则该抛物线的方程为
A.B.C.D.

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