本试题主要是考查了抛物线的方程的求解,以及直线与抛物线的位置关系的综合运用。 (1)连CA,过C作CD⊥l1,垂足为D,由已知可得|CA|=|CD|, ∴点C的轨迹是以A为焦点,l1为准线的抛物线, (2)设直线l2的方程为y=kx+1, 把直线方程与抛物线方程联立消去y得 x2-4kx-4=0. 结合韦达定理来表示关系式,以向量的数量积来表示模长的积,得到结论。 解法一:(Ⅰ)连CA,过C作CD⊥l1,垂足为D,由已知可得|CA|=|CD|,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191024/20191024103330-77984.jpg) ∴点C的轨迹是以A为焦点,l1为准线的抛物线, ∴轨迹E的方程为 ………6分 (Ⅱ)设直线l2的方程为 ,与抛物线方程联立消去y得x2-4kx-4=0. 记P(x1,y1),Q(x2,y2),则 . 因为直线PA的斜率k≠O,易得点R的坐标为 . |PR|·|QR|= · =(x1+ ,y1+1)·(x2+ ,y2+1) =(x1+ )(x2+ )+(kx1+2 )(kx2+ 2) =(1+k2) x1 x2+( +2 k)( x1+x2)+ +4 = -4(1+k2)+4k( +2k)+ +4 =4(k2+ )+8, ∵k2+ ≥2,当且仅当k2=1时取到等号. 又α∈[ , ],k∈[ ,1],∴上述不等式中等号能取到. 从而|PR|·|QR|的最小值为16. ………12分 解法二:(I)同解法一. (Ⅱ)设直线l2的方程为y=kx+1, 把直线方程与抛物线方程联立消去y得 x2-4kx-4=0. 记P(x1,y1),Q(x2,y2),则 . PR|·|QR|= |x1-xR|· |x2-xR| =(1+k2)·(x1+ )(x2+ ), 下同解法一. |