已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足.(1) 求曲线C的方程;(2)动点Q(x0,y0)(-2<x0<2)在曲
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已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足.(1) 求曲线C的方程;(2)动点Q(x0,y0)(-2<x0<2)在曲
题型:不详
难度:
来源:
已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足
.
(1) 求曲线C的方程;
(2)动点Q(x
0
,y
0
)(-2<x
0
<2)在曲线C上,曲线C在点Q处的切线为l向:是否存在定点P(0,t)(t<0),使得l与PA,PB都不相交,交点分别为D,E,且△QAB与△PDE的面积之比是常数?若存在,求t的值。若不存在,说明理由。
答案
(1)
(2)2
解析
(1)依题意可得
,
,
由已知得
,化简得曲线C的方程:
(2)假设存在点P(0,t)(t<0)满足条件,则直线PA的方程是
,直线PB的方程是
,曲线C在点Q处的切线l的方程为
它与y轴的交点为
,由于
,因此
①当
时,
,存在
,使得
,即l与直线PA平行,故当
时不符合题意
②当
时,
,所以l 与直线PA,PB一定相交,分别联立方程组
,
解得D,E的横坐标分别是
则
,又
,
有
,又
于是
对任意
,要使△QAB与△PDE的面积之比是常数,只需t满足
,
解得t=-1,此时△QAB与△PDE的面积之比为2,故存在t=-1,使△QAB与△PDE的面积之比是常数2。
【点评】本题以平面向量为载体,考查抛物线的方程,直线与抛物线的位置关系以及分类讨论的数学思想. 高考中,解析几何解答题一般有三大方向的考查.一、考查椭圆的标准方程,离心率等基本性质,直线与椭圆的位置关系引申出的相关弦长问题,定点,定值,探讨性问题等;二、考查抛物线的标准方程,准线等基本性质,直线与抛物线的位置关系引申出的相关弦长问题,中点坐标公式,定点,定值,探讨性问题等;三、椭圆,双曲线,抛物线综合起来考查.一般椭圆与抛物线结合考查的可能性较大,因为它们都是考纲要求理解的内容.
举一反三
准线方程为x=3的抛物线的标准方程为 ( )
A.y
2
=-6x
B.y
2
=6x
C.y
2
=-12x
D.y
2
="12x"
题型:不详
难度:
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已知抛物线
,则它的焦点坐标是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
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抛物线y=2x
2
的准线方程是________.
题型:不详
难度:
|
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过抛物线
的焦点
的直线交该抛物线于
两点,若
,则
=______
题型:不详
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|
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已知抛物线
的焦点为
,点
是抛物线上的一点,且其纵坐标为4,
.
(1)求抛物线的方程;
(2) 设点
是抛物线上的两点,
的角平分线与
轴垂直,求
的面积最大时直线
的方程.
题型:不详
难度:
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