已知抛物线的焦点为,点是抛物线上的一点,且其纵坐标为4,.(1)求抛物线的方程;(2) 设点是抛物线上的两点,的角平分线与轴垂直,求的面积最大时直线的方程.

已知抛物线的焦点为,点是抛物线上的一点,且其纵坐标为4,.(1)求抛物线的方程;(2) 设点是抛物线上的两点,的角平分线与轴垂直,求的面积最大时直线的方程.

题型:不详难度:来源:
已知抛物线的焦点为,点是抛物线上的一点,且其纵坐标为4,
(1)求抛物线的方程;
(2) 设点是抛物线上的两点,的角平分线与轴垂直,求的面积最大时直线的方程.
答案
(1);(2)
解析

试题分析:(1)由于点是抛物线上的一点,且其纵坐标为4,假设点,再通过,可得一个关于的关系式,在结合抛物线方程即可求出.从而求得抛物线的方程.
(2)因为的角平分线与轴垂直,所以可知的倾斜角互补,即的斜率互为相反数.所以假设直线PA,联立抛物线方程即可得到点A的坐标,类比地求出点B的坐标.结合韦达定理,可以得到直线AB的斜率为定值-1.通过假设直线AB的方程,联立抛物线的方程,应用点到直线的距离,即可表示三角形的面积.再通过求最值即能到结论.
(1)设,因为,由抛物线的定义得,又,所以
因此,解得,从而抛物线的方程为
(2)由(1)知点的坐标为,因为的角平分线与轴垂直,所以可知的倾斜角互补,即的斜率互为相反数
设直线的斜率为,则,由题意
代入抛物线方程得,该方程的解为4、
由韦达定理得,即,同理
所以
,把代入抛物线方程得
由题意,且,从而
,所以,点的距离
因此,设

,所以上为增函数,因此
面积的最大值为
的面积取最大值时,所以直线的方程为
举一反三
的垂直平分线.
(1)当且仅当?
(2)当直线的斜率为2时,求轴上截距的取值范围.    
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过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点,若=                    
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(本题满分14分)已知:曲线上任意一点到点的距离与到直线的距离相等.
(1)求曲线的方程;
(2)如果直线交曲线两点,是否存在实数,使得以为直径的圆经过原点?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
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过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点,若A、B在抛物线准线上的射影分别为
,则(   )
A.   B.  C.   D.
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设抛物线的顶点在原点,准线方程为,则抛物线的方程是( )
A.B.C.D.

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