如图,直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A.(1)求实数b的值.(2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.

题型：不详难度：来源：

如图,直线l:y=x+b与抛物线C:x²=4y相切于点A.

(1)求实数b的值.
(2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.

答案

(1) b=-1   (2) (x-2)²+(y-1)²=4

解析

(1)由得x²-4x-4b=0　(*)
因为直线l与抛物线C相切,所以Δ=(-4)²-4×(-4b)=0.解得b=-1.
(2)由(1)可知b=-1,故方程(*)为x²-4x+4=0.
解得x=2,代入x²=4y,得y=1,故点A(2,1).
因为圆A与抛物线C的准线相切,
所以圆A的半径r就等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离,
即r=|1-(-1)|=2,
所以圆A的方程为(x-2)²+(y-1)²=4.