设直线l:x-y+m=0与抛物线C:y2=4x交于不同两点A,B,F为抛物线的焦点.(1)求△ABF的重心G的轨迹方程;(2)如果m=-2,求△ABF的外接圆的
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设直线l:x-y+m=0与抛物线C:y2=4x交于不同两点A,B,F为抛物线的焦点. (1)求△ABF的重心G的轨迹方程; (2)如果m=-2,求△ABF的外接圆的方程. |
答案
解析
(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),F(1,0),重心G(x,y), ⇒y2-4y+4m=0, ∴Δ>0⇒m<1且m≠-1(A,B,F不共线), 故 ∴重心G的轨迹方程为y=. (2)若m=-2,则y2-4y-8=0,设AB中点为(x0,y0,) ∴y0==2,∴x0=y0-m=2-m=4, 那么AB的中垂线方程为x+y-6=0, 令△ABF的外接圆圆心为C(a,6-a), 又|AB|=|y1-y2|=4,C到AB的距离为d=,∴|CA|=|CF|⇒(2)2+2=(a-1)2+(6-a)2⇒a=, ∴C点的坐标为,∴|CF|2=2+2=, ∴所求的圆的方程为2+2=. |
举一反三
已知直线y=k(x-m)与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,且OA⊥OB,OD⊥AB于点D.若动点D的坐标满足方程x2+y2-4x=0,则m等于( ). |
过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点.若|AF|=3, 则|BF|=________.
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在抛物线y=2x2上有一点P,它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小,则点P的坐标是( ).
A.(-2,1) | B.(1,2) | C.(2,1) | D.(-1,2) |
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抛物线(p>0)的准线与x轴交于M点,过点M作直线l交抛物线于A、B两点. (1)若线段AB的垂直平分线交x轴于N(x0,0),比较x0与3p大小; (2)若直线l的斜率依次为p,p2,p3,…,线段AB的垂直平分线与x轴的交点依次为N1,N2,N3,…,求++…+的值. |
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