已知过点的直线与抛物线交于两点,为坐标原点.(1)若以为直径的圆经过原点,求直线的方程;(2)若线段的中垂线交轴于点,求面积的取值范围.

已知过点的直线与抛物线交于两点,为坐标原点.(1)若以为直径的圆经过原点,求直线的方程;(2)若线段的中垂线交轴于点,求面积的取值范围.

题型:不详难度:来源:
已知过点的直线与抛物线交于两点,为坐标原点.
(1)若以为直径的圆经过原点,求直线的方程;
(2)若线段的中垂线交轴于点,求面积的取值范围.
答案
解:(1)(2) 。
解析

试题分析:
思路分析:(1)通过分析已知条件,确定直线的斜率存在,故可设直线方程为,通过联立方程组 ,消去,应用韦达定理及,建立k的方程,求解。
(2)通过设线段的中点坐标为
确定线段的中垂线方程为
用k表示, ,
利用二次函数的图象和性质,得到,进一步确定三角形面积的最值。
解:(1)依题意可得直线的斜率存在,设为
则直线方程为 1分
联立方程 ,消去,并整理得  2分
则由,得
,则       4分
      5分
为直径的圆经过原点

,解得        6分
直线的方程为,即         7分
(2)设线段的中点坐标为
由(1)得         8分
线段的中垂线方程为         9分
,得    11分
又由(1)知,且 
   13分
面积的取值范围为            14分
点评:中档题,确定抛物线的标准方程,一般利用“待定系数法”,涉及直线与抛物线的位置关系,往往通过联立方程组,应用韦达定理,简化解题过程。
举一反三
已知抛物线方程,则准线方程为                                  (    )
          
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的焦点为,点,,均在抛物线上,且,则有    (    )
A.B.
C.D.

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圆心在抛物线()上,并且与抛物线的准线及y轴都相切的圆的方程是_
题型:不详难度:| 查看答案
以抛物线的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为
A.B.
C.D.

题型:不详难度:| 查看答案
(本小题满分12分)
已知,过点作直线与抛物线交于两点,若两点纵坐标之积为.
(1)求抛物线方程;
(2)斜率为的直线不经过点且与抛物线交于
(Ⅰ)求直线轴上截距的取值范围;
(Ⅱ)若分别与抛物线交于另一点,证明:交于一定点.
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