如图,设抛物线方程为直线上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为A,B。(1)求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列;(2)已知当M点的坐标为时,,求此时抛物
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如图,设抛物线方程为直线上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为A,B。(1)求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列;(2)已知当M点的坐标为时,,求此时抛物
题型:不详
难度:
来源:
如图,设抛物线方程为
直线
上任意一点,过
M
引抛物线的切线,切点分别为
A
,
B
。
(1)求证:
A
,
M
,
B
三点的横坐标成等差数列;
(2)已知当
M
点的坐标为
时,
,求此时抛物线的方程;
(3)是否存在点
M
,使得点
C
关于直线
AB
的对称点
D
在抛物线
上,其中,点
C
满足
(
O
为坐标原点).若存在,求出所有适合题意的点
M
的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)证明:由题意设
由
得
,则
所以
因此直线
MA
的方程为
直线
MB
的方程为
所以
①;
②
由①-②得
,而
,因此
所以
A
、
M
、
B
三点的横坐标成等差数列.
(2)解:由(1)知,当
x
0
=2时,
将其代入①、②并整理得:
所以
x
1
、
x
2
是方程
的两根,
因此
又
所以
由弦长公式得:
又
,所以
p
=1或
p
=2,
因此所求抛物线方程为
或
(3)解:设
,由题意得
则
CD
的中点坐标为
设直线
AB
的方程为
由点
Q
在直线
AB
上,并注意到点
也在直线
AB
上,
代入得
若
在抛物线上,则
因此
x
3
=0或
x
3
=2
x
0
.即
D
(0,0)或
(1)当
x
0
=0时,则
,此时,点
M
适合题意.
(2)当
,对于
D
(0,0),此时
又
AB
⊥
CD
,所以
即
矛盾.
对于
因为
此时直线
CD
平行于
y
轴,又
所以直线
AB
与直线
CD
不垂直,与题设矛盾,
所以
时,不存在符合题意的
M
点.
综上所述,仅存在一点
M
适合题意.
解析
略
举一反三
抛物线
的准线方程是_____________.
题型:不详
难度:
|
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(本题满分15分)
(1).已知抛物线的焦点是
,求它的标准方程 ;
(2).已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍,且经过点
,求椭圆的标准方程;
(3).已知双曲线两个焦点分别为
,
,双曲线上一点
到
,
的距离差的绝对值等于8, 求双曲线的方程.
题型:不详
难度:
|
查看答案
(本题满分12分)
斜率为2的直线
经过抛物线
的焦点
,且与抛物线相交于
两点,求线段
的长。
题型:不详
难度:
|
查看答案
以
为中点的抛物线
的弦所在直线方程为:
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
(本题满分14分)已知:抛物线
的焦点坐标为
,它与过点
的直线
相交于A,B两点,O为坐标原点。
(1)求
值;
(2)若OA和OB的斜率之和为1,求直线
的方程。
题型:不详
难度:
|
查看答案
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