如图,设抛物线的焦点为,动点在直线上运动,过P作抛物线C的两条切线PA,PB,且与抛物线C分别相切于A,B两点.(1)求△APB的重心G的轨迹方程.(2)证明∠

如图,设抛物线的焦点为,动点在直线上运动,过P作抛物线C的两条切线PA,PB,且与抛物线C分别相切于A,B两点.(1)求△APB的重心G的轨迹方程.(2)证明∠

题型:不详难度:来源:
如图,设抛物线的焦点为,动点在直线
运动,过P作抛物线C的两条切线PAPB,且与抛物线C分别相切于AB两点.
(1)求△APB的重心G的轨迹方程.
(2)证明∠PFA=∠PFB
答案
(1);(2)见解析.
解析
本试题主要考查了轨迹方程的求解和证明角的相等问题。
解:(1)设切点坐标分别为
切线的方程为:;切线的方程为:
由于既在又在上,所以 解得 
所以的重心的坐标为

所以,由点在直线上运动,从而得到重心的轨迹方程为:
,即
(2)方法1:因为
由于点在抛物线外,则

同理有

方法2:①当时,由于,不妨设,则,所以P点坐标为,则P点到直线AF的距离为:;而直线的方程:
.所以P点到直线BF的距离为: 所以,即得
②当时,直线AF的方程:,即
直线的方程:,即
所以P点到直线AF的距离为:

同理可得到P点到直线BF的距离,因此由,可得到
举一反三
直线l过抛物线的焦点F交抛物线于A
=                 
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