设函数（Ⅰ）当时，求的展开式中二项式系数最大的项；（Ⅱ）对任意的实数，证明 :（是的导函数）；

题型：不详难度：来源：

设函数
（Ⅰ）当时，求的展开式中二项式系数最大的项；
（Ⅱ）对任意的实数，证明 :（是的导函数）；

答案

（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

解析

本试题主要考查了二项式定理的运用，以及二项式系数的最大项的问题，和运用函数的思想解决不等式的恒成立问题的综合运用。
(1)中，根据二项式系数的性质可知，二项式系数的最大项取决于幂指数为奇数还是偶数来得到
（2）中利用均值不等式的思想，表示出
和放缩法的思想得到
（Ⅰ）解：展开式中二项式系数最大的项是第3项，这项是
（Ⅱ）证法一：因


证法二：
因
而
故只需对和进行比较。
令，有 由，得
因为当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以在处有极小值故当时，，
从而有，亦即故有恒成立。
所以，原不等式成立。