(12分)已知抛物线和点M(2,2),若抛物线L上存在不同的两点A、B满足。(1)求实数p的取值范围;(2)当时,抛物线L上是否存在异于A、B的点C,使得经过A

(12分)已知抛物线和点M(2,2),若抛物线L上存在不同的两点A、B满足。(1)求实数p的取值范围;(2)当时,抛物线L上是否存在异于A、B的点C,使得经过A

题型:不详难度:来源:
(12分)已知抛物线和点M(2,2),若抛物线L上存在不同的两点A、B满足
(1)求实数p的取值范围;
(2)当时,抛物线L上是否存在异于A、B的点C,使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由。
答案
,存在满足题设的点C,其坐标为(-2,1)。
解析
解:(法一)(1)不妨设,且

,即,即的取值范围为
(2)当时,由(1)求得A、B的坐标分别为(0,0),(4,4)。假设抛物线L上存在点,使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线。设经过A、B、C三点的圆的方程为,则
整理得,①∵函数的导数为,∴抛物线L在点处的切线的斜率为,∴经过A、B、C三点的圆N在点处的切线斜为。∵,∴直线NC的斜率存在。∵圆心N的坐标为,∴,即,      ②
,由①、②消去E,得。即,故存在满足题设的点C,其坐标为(-2,1)。
举一反三
从抛物线上一点引抛物线准线的垂线,垂足为,且,设抛物线的焦点为,则=               .
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(本小题满分13分)已知点,直线为平面上的动点,过点作直线的垂线,垂足为,且.(1)求动点轨迹的方程;
(2)已知点A(m,2)在曲线C上,过点A作曲线C的两条弦AD,AE,且AD,AE的斜率k1、k2满足,试推断:动直线DE是否过定点?证明你的结论。
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若圆过点且与直线相切,设圆心的轨迹为曲线为曲线上的两点,点,且满足.
(1)求曲线的方程;
(2)若,直线的斜率为,过两点的圆与抛物线在点处有共同的切线,求圆的方程;
(3)分别过作曲线的切线,两条切线交于点,若点恰好在直线上,求证:均为定值.
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过抛物线的焦点的直线两点(点分别在第一、四象限),若,则的斜率为      .
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抛物线y2=8x的焦点坐标是      
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