已知点A(2,8),B(x,y),C(x,y)在抛物线y=2px上,△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合(如图)。(1)写出该抛物线的方程和焦点F的坐标;(2)

已知点A(2,8),B(x,y),C(x,y)在抛物线y=2px上,△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合(如图)。(1)写出该抛物线的方程和焦点F的坐标;(2)

题型:不详难度:来源:
已知点A(2,8),B(x,y),C(x,y)在抛物线y=2px上,△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合(如图)。
(1)写出该抛物线的方程和焦点F的坐标;
(2)求线段BC中点M的坐标。
答案
(1)抛物线方程为y=32x,焦点F的坐标为(8,0)。
(2)点M的坐标为(11,-4)。
解析
(1)由点A(2,8)在抛物线y=2px上,有8=2p·2,解得p=16。
所以抛物线方程为y=32x,焦点F的坐标为(8,0)。
(2)如原题上图,由于F(8,0)是△ABC的重心,M是BC的中点,所以F是线段AM的定比分点,且=2。设点M的坐标为(x,y),则=8,=0,
解得x=11,y=-4。所以点M的坐标为(11,-4)。
举一反三
(15分)点是抛物线上的不同两点,过分别作抛物线的切线,两条切线交于点
(1)求证:的等差中项;
(2)若直线过定点,求证:原点的垂心;
(3)在(2)的条件下,求的重心的轨迹方程。
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设F为抛物线的焦点,A、B、C为该抛物线上三点,若,则=(  )                                         
A .9              B .6                  C. 4                  D. 3
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坐标原点,定点B的坐标为(2,0)。
(1)若动点M满足,求动点M的轨迹C 的方程;
(2)若过点B的直线(斜率不等于零)与(1)中的轨迹C交于不同的两点E、F(E在B、F之间),且,试求λ的取值范围。
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在下面几个关于圆锥曲线命题中
①方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
②设A、B为两个定点,K为非零常数,若,则动点P的轨迹为双曲线
③过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点,若A、B在抛物线的准线上的射影分别为,则∠
④双曲线的渐近线与圆相切,则
其中真命题序号为            
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.(本小题满分12分)
已知过点的直线与抛物线交于两点,为坐标原点.
(1)若以为直径的圆经过原点,求直线的方程;
(2)若线段的中垂线交轴于点,求面积的取值范围.
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