如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.(1)求证:CE=CF;(2)若点G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+G
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如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE. (1)求证:CE=CF; (2)若点G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?为什么?
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答案
(1)证明见解析;(2)GE=BE+GD成立,理由见解析. |
解析
试题分析:(1)由DF=BE,四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD,从而证出CE=CF. (2)由(1)得,CE=CF,∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF,故可证得△ECG≌△FCG,即EG=FG=GD+DF.又因为DF=BE,所以可证出GE=BE+GD成立. 试题解析:(1)在正方形ABCD中,∵BC=CD,∠B=∠CDF,BE=DF, ∴△CBE≌△CDF(SAS).∴CE=CF. (2)GE=BE+GD成立.理由是: ∵由(1)得:△CBE≌△CDF,∴∠BCE=∠DCF. ∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,即∠ECF=∠BCD=90°. 又∵∠GCE=45°,∴∠GCF=∠GCE=45°. ∵CE=CF,∠GCE=∠GCF,GC=GC,∴△ECG≌△FCG(SAS). ∴GE=GF. ∴GE=DF+GD=BE+GD. |
举一反三
如图,在四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°,则BD的长为 .
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如图,AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=OD,求证:AB∥CD.
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【问题提出】 学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后,我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究. 【初步思考】 我们不妨将问题用符号语言表示为:在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,然后,对∠B进行分类,可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.
【深入探究】 第一种情况:当∠B是直角时,△ABC≌△DEF. (1)如图①,在△ABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E=90°,根据 ,可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF. 第二种情况:当∠B是钝角时,△ABC≌△DEF. (2)如图②,在△ABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是钝角,求证:△ABC≌△DEF. 第三种情况:当∠B是锐角时,△ABC和△DEF不一定全等. (3)在△ABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是锐角,请你用尺规在图③中作出△DEF,使△DEF和△ABC不全等.(不写作法,保留作图痕迹) (4)∠B还要满足什么条件,就可以使△ABC≌△DEF?请直接写出结论:在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是锐角,若 ,则△ABC≌△DEF. |
已知矩形ABCD的周长为20cm,两条对角线AC,BD相交于点O,过点O作AC的垂线EF,分别交两边AD,BC于E,F(不与顶点重合),则以下关于△CDE与△ABF判断完全正确的一项为( )A.△CDE与△ABF的周长都等于10cm,但面积不一定相等 | B.△CDE与△ABF全等,且周长都为10cm | C.△CDE与△ABF全等,且周长都为5cm | D.△CDE与△ABF全等,但它们的周长和面积都不能确定 |
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等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为360,则该等腰三角形的底角的度数为 . |
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