抛物线y2=2px的焦点弦AB的中点为M,A、B、M在准线上的影依次为C、D、N.求证:(1)A、O、D三点共线,B、O、C三点共线;(2)FN⊥AB(F为抛物
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抛物线y2=2px的焦点弦AB的中点为M,A、B、M在准线上的影依次为C、D、N.求证:(1)A、O、D三点共线,B、O、C三点共线;(2)FN⊥AB(F为抛物
题型:不详
难度:
来源:
抛物线y
2
=2px的焦点弦AB的中点为M,A、B、M在准线上的
影依次为C、D、N.求证:
(1)A、O、D三点共线,B、O、C三点共线;
(2)FN⊥AB(F为抛物线的焦点)
答案
(1)设A(x
1
,y
1
)、B(x
2
,y
2
)、中点M(x
0
,y
0
),焦点F的坐标是(
,0).
由
得ky
2
-2py-kp
2
=0.
∴A、B、M在准线上的射影依次为C、D、N,
∴C(-
,y
1
)、D(-
,y
2
)、N(-
,y
0
).
∵
,
由ky
2
-2py-kp
2
=0
得y
1
y
2
=
=-p
2
,
∴k
OA
=k
OD
,∴A、O、D三点共线.同理可证B、O、C三点共线.
(2)k
FN
=
,当x
1
=x
2
时,显然FN⊥AB;当x
1
≠x
2
时,
k
AB
=
,∴k
FN
·k
AB
=-1.∴FN⊥AB.综上所述知FN⊥AB成立.
解析
同答案
举一反三
(本题11分)如图1,抛物线y=ax
2
+bx+c(a≠0)的顶点为(1,4),交x轴于A、B,交y轴于D,其中B点的坐标为(3,0)
(1)求抛物线的解析式
(2)如图
2,过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中E点的横坐标为2,若直线PQ为抛物线的对称轴,点G为PQ上一动点,则
轴上是否存在一点H,使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在,求出这个最小值及G、H的坐
标;若不存在,请说明理由.
(3)如图3,抛物线上是否存在一点
,过点
作
轴的垂线,垂足为
,过点
作直线
,交线段
于点
,连接
,使
~
,若存在,求出点
的坐标;若不存在,说明理由.
图1 图2
图3
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线y
2
=4x的焦点为F,准线为l.过点F作倾斜角为60°的直线与抛物线在第一象限的交点为A,过A作l的垂线,垂足为A
1
,则△AA
1
F的面积是
▲
题型:不详
难度:
|
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以椭圆
的中心为顶点,以椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆右准线交于A、B两点,则
________
题型:不详
难度:
|
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抛物线
的动弦AB长为
,则AB中点M到
轴的最短距离是 ( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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证明:以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切
题型:不详
难度:
|
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