曲线C上的每一点到定点F(2,0)的距离与到定直线l:x=-2的距离相等.(Ⅰ)求出曲线C的标准方程;(Ⅱ) 若直线y=x-2与曲线C交于A,B两点,求弦AB的
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曲线C上的每一点到定点F(2,0)的距离与到定直线l:x=-2的距离相等. (Ⅰ)求出曲线C的标准方程; (Ⅱ) 若直线y=x-2与曲线C交于A,B两点,求弦AB的长. |
答案
(Ⅰ)∵曲线C上的每一点到定点F(2,0)的距离与到定直线l:x=-2的距离相等, ∴轨迹为焦点在x轴上,以F(2,0)为焦点的抛物线 标准方程为:y2=8x (Ⅱ)方法1:联立直线y=x-2与抛物线y2=8x 得得:(x-2)2=8x ∴x2-12x+4=0,x1+x2=12,x1x2=4 (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=144-16=128 ∴|AB|==16 直线和抛物线相交弦的长为16(12分) (Ⅱ)方法2:直线y=x-2过抛物线的焦点F(2,0),AB为抛物线的焦点弦 y2=8x,p=4 联立直线y=x-2与抛物线y2=8x 得:(x-2)2=8x x2-12x+4=0,x1+x2=12 AB为抛物线的焦点弦,根据抛物线焦点弦的弦长公式:|AB|=x1+x2+p=16 ∴直线和抛物线相交弦的长为16 |
举一反三
已知抛物线C:y2=4x,直线l:y=x+b经过抛物线的焦点且与抛物线交于A,B两点,求:△OAB的面积(O为坐标原点). |
已知两点B(6,0)和C(-6,0),设点A与B、C的连线AB、AC的斜率分别为k1,k2,如果k1k2=,那么点A的轨迹一定不是下列曲线(或其一部分)( ) |
一个动点到点F(0,-4)距离比到直线y-3=0的距离多1,则动点的轨迹方程为______. |
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线于点C(B在FC之间),且|BC|=2|BF|,|AF|=12,则p的值为______. |
已知动点P(x,y)到定点F(1,0)的距离比它到定直线x=-2的距离小1. (1)求点P的轨迹C的方程; (2)在轨迹C上是否存在两点M、N,使这两点关于直线l:y=kx+3对称,若存在,试求出k的取值范围;若不存在,说明理由. |
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