(1)直线l过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,且与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,证明:y1y2=-p2;(2)直线l过抛物线y2=2p
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(1)直线l过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,且与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,证明:y1y2=-p2; (2)直线l过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,且与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴,证明:直线AC经过原点. |
答案
解(1)1°当斜率不存在时,直线x=.此时A(,p),B(,-p),y1y2=-p2 2°当斜率存在,设直线方程为:y=k(x-) 消元得:ky2-2py-kp2=0w所以 y1y2=-p2 综上所述y1y2=-p2 (2)1°当斜率不存在时,直线x=,此时A(,p),B(,-p),C(-,-p) 所以直线AC的斜率为kAC==2 所以直线AC的方程为y-p=2(x-)⇒y=2x直线经过原点 2°当斜率存在,设直线方程为:y=k(x-) 设A(,y1),B(,y2)C(-,y2) 由 消元得:ky2-2py-kp2=0 y1y2=-p2;所以直线AC的斜率为kAC== 所以直线AC的方程:y-y1=(x-)⇒y=x 所以直线经过原点. 综上所述,直线经过原点 |
举一反三
已知过点A(0,2)的直线与抛物线y2=4x交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),计算+的值为______. |
已知VABC的三个顶点A、B、C都在抛物线y2=32x上,点A(2,8),且这三角形的重心G是抛物线的焦点,则BC边所在直线的方程是______. |
已知抛物线y2=4x截直线y=2x+b所得的弦长为|AB|=3. (1)求b的值; (2)在x轴上求一点P,使△APB的面积为39. |
过点P(0,-2)与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线的条数是( ) |
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