如图,已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线与x轴交于M点,过M点斜率为k的直线l与抛物线C交于A、B两点.(Ⅰ)F为抛物线C的焦点,若|AM|=54|AF

如图,已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线与x轴交于M点,过M点斜率为k的直线l与抛物线C交于A、B两点.(Ⅰ)F为抛物线C的焦点,若|AM|=54|AF

题型:不详难度:来源:
如图,已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线与x轴交于M点,过M点斜率为k的直线l与抛物线C交于A、B两点.
(Ⅰ)F为抛物线C的焦点,若|AM|=
5
4
|AF|
,求k的值;
(Ⅱ)是否存在这样的k,使得对任意的p,抛物线上C总存在点Q,使得QA⊥QB,若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.魔方格
答案
解(Ⅰ)记A点到准线距离为d,直线l的倾斜角为α,由抛物线的定义知|AM|=
5
4
d

cosα=
d
|AM|
=
4
5
,则sinα=


1-cos2α
=


1-(
4
5
)2
=
3
5

∴k=±tanα=±
sinα
cosα
3
5
4
5
3
4

(Ⅱ)存在k,k的取值范围为[-


5
5
,0)∪(0,


5
5
]
,使得对任意的p,抛物线上C总存在点Q,使得QA⊥QB.
事实上,假设存在这样的k,使得对任意的p,抛物线上C总存在点Q,使得QA⊥QB,
设点Q(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),
联立





y2=2px
y=k(x+
p
2
)
,得ky2-2py+p2k=0.





k≠0
4p2-4k2p2>0
,得:-1<k<1且k≠0.
y1+y2=
2p
k
y1y2=p2

又Q、A、B三点在抛物线上,所以x0=
y02
2p
x1=
y12
2p
x2=
y22
2p

kQA=
y0-y1
x0-x1
=
y0-y1
y02
2p
-
y12
2p
=
2p
y0+y1

同理kQB=
2p
y0+y2

由QA⊥QB得:
2p
y0+y1
2p
y0+y2
=-1
,即y02+y0(y1+y2)+y1y2=-4p2
y02+
2p
k
+p2=-4p2
,即ky02+2py0+5kp2=0
△=4p2-20k2p2≥0,解得-


5
5
≤k≤


5
5
,又-1<k<1且k≠0.
所以k的取值范围为[-


5
5
,0)∪(0,


5
5
]
举一反三
已知A,B两点均在焦点为F的抛物线y2=2px(p>0)上,若=4,线段AB的中点到直线x=的距离为1,则p的值为(  )
题型:大连一模难度:| 查看答案
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题型:辽宁难度:| 查看答案
A.1B.1或3C.2D.2或6
若函数f(x)=log2(x+1)-1的零点是抛物线x=ay2焦点的横坐标,则a=
1
4
1
4
如图,抛物线C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p>0),点M(x0,y0)在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O),当x0=1-


2
时,切线MA的斜率为-
1
2

(I)求P的值;
(II)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O).魔方格
已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在C上且|AK|=|AF|,则△AFK的面积为(  )
题型:四川难度:| 查看答案
A.4B.8C.16D.32
过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60°的直线,若此直线与抛物线交于A、B两点,弦AB的中垂线与x轴交于点P,则线段PF的长等于(  )
A.
B.
C.
D.
题型:不详难度:| 查看答案
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