如图所示,已知椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F1,F2在x轴上,离心率e=,斜率为2的直线l过点A(2,3).(1)求椭圆E的方程;(2)在椭圆
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如图所示,已知椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F1,F2在x轴上,离心率e=,斜率为2的直线l过点A(2,3).(1)求椭圆E的方程;(2)在椭圆
题型:不详
难度:
来源:
如图所示,已知椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F
1
,F
2
在x轴上,离心率e=
,斜率为2的直线l过点A(2,3).
(1)求椭圆E的方程;
(2)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点?若存在,请找出;若不存在,说明理由.
答案
(1)
=1
(2)不存在,见解析
解析
解:(1)设椭圆E的方程为
=1(a>b>0),
由题意e=
=
,
=1,
又∵c
2
=a
2
-b
2
,
解得:c=2,a=4,b=2
,
∴椭圆E的方程为
=1.
(2)假设椭圆E上存在关于直线l对称的相异两点P、Q,令P(x
1
,y
1
)、Q(x
2
,y
2
),且PQ的中点为R(x
0
,y
0
).
∵PQ⊥l,
∴k
PQ
=
=-
,
又∵
两式相减得:
.
∴
=-
=-
×(-
)=
,
即
=
,③
又∵R(x
0
,y
0
)在直线l上,
∴y
0
=2x
0
-1,④
由③④解得:x
0
=2,y
0
=3,
所以点R与点A是同一点,这与假设矛盾,
故椭圆E上不存在关于直线l对称的相异两点.
举一反三
在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C的中心在原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,离心率为
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设A,B是椭圆C上的两点,△AOB的面积为
.若A、B两点关于x轴对称,E为线段AB的中点,射线OE交椭圆C于点P.如果
=t
,求实数t的值.
题型:不详
难度:
|
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在平面直角坐标系xOy中,F是抛物线C:x
2
=2py(p>0)的焦点,M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点,过M,F,O三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准线的距离为
.
(1)求抛物线C的方程;
(2)是否存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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(2013•浙江)已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点F(0,1)
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)过F作直线交抛物线于A、B两点.若直线OA、OB分别交直线l:y=x﹣2于M、N两点,求|MN|的最小值.
题型:不详
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|
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若存在过点
的直线与曲线
和
都相切,则
等于 ( )
A.
或
B.
或
C.
或
D.
或
题型:不详
难度:
|
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已知点
是抛物线
上不同的两点,点
在抛物线
的准线
上,且焦点
到直线
的距离为
.
(I)求抛物线
的方程;
(2)现给出以下三个论断:①直线
过焦点
;②直线
过原点
;③直线
平行
轴.
请你以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题,并加以证明.
题型:不详
难度:
|
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