已知椭圆:()的焦距为,且过点(,),右焦点为.设,是上的两个动点,线段的中点的横坐标为,线段的中垂线交椭圆于,两点.(1)求椭圆的方程;(2)求的取值范围.
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已知椭圆:()的焦距为,且过点(,),右焦点为.设,是上的两个动点,线段的中点的横坐标为,线段的中垂线交椭圆于,两点.(1)求椭圆的方程;(2)求的取值范围.
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆
:
(
)的焦距为
,且过点(
,
),右焦点为
.设
,
是
上的两个动点,线段
的中点
的横坐标为
,线段
的中垂线交椭圆
于
,
两点.
(1)求椭圆
的方程;
(2)求
的取值范围.
答案
(1)
;(2)
的取值范围为
.
解析
试题分析:(I)利用椭圆的几何性质,建立
的方程组即得;
(2) 讨论当直线AB垂直于
轴时,直线AB方程为
,此时
、
,得
.
当直线
不垂直于
轴时,设直线
的斜率为
(
),
(
),
,
,利用“点差法”,首先得到
;
得到
的直线方程为
.即
.
联立
消去
,整理得
.
设
,
,应用韦达定理,得到
.
根据
在椭圆的内部,得到
进一步得到
的取值范围为
.
试题解析:(1) 因为焦距为
,所以
.因为椭圆
过点(
,
),
所以
.故
,
2分
所以椭圆
的方程为
4分
(2) 由题意,当直线AB垂直于
轴时,直线AB方程为
,此时
、
,得
. 5分
当直线
不垂直于
轴时,设直线
的斜率为
(
),
(
),
,
由
得
,则
,
故
. 6分
此时,直线
斜率为
,
的直线方程为
.
即
.
联立
消去
,整理得
.
设
,
所以
,
. 9分
于是
. 11分
由于
在椭圆的内部,故
令
,
,则
. 12分
又
,所以
.
综上,
的取值范围为
. 13分
举一反三
已知椭圆
:
的离心率为
,右焦点
到直线
的距离为
.
(1)求椭圆
的方程;
(2)过椭圆右焦点F
2
斜率为
(
)的直线
与椭圆
相交于
两点,
为椭圆的右顶点,直线
分别交直线
于点
,线段
的中点为
,记直线
的斜率为
,求证:
为定值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
椭圆C
1
:
+
=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,点P是双曲线C
2
:
-
=1在第一象限内的图象上一点,直线AP,BP与椭圆C
1
分别交于C,D点,若S
△ACD
=S
△PCD
.
(1)求P点的坐标.
(2)能否使直线CD过椭圆C
1
的右焦点,若能,求出此时双曲线C
2
的离心率;若不能,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
查看答案
坐标平面上有两个定点A,B和动点P,如果直线PA,PB的斜率之积为定值m,则点P的轨迹可能是:①椭圆;②双曲线;③抛物线;④圆;⑤直线.试将正确的序号填在横线上:
.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知椭圆C:
+y
2
=1(a>1)的上顶点为A,离心率为
,若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P,Q两点,且
·
=0.
(1)求椭圆C的方程.
(2)求证:直线l过定点,并求出该定点N的坐标.
题型:不详
难度:
|
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给定椭圆C:
+
=1(a>b>0),称圆心在原点O,半径为
的圆是椭圆C的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为F(
,0),其短轴上的一个端点到F的距离为
.
(1)求椭圆C的方程和其“准圆”的方程.
(2)点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点,过动点P作直线l
1
,l
2
使得l
1
,l
2
与椭圆C都只有一个交点,且l
1
,l
2
分别交其“准圆”于点M,N.
①当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时,求l
1
,l
2
的方程;
②求证:|MN|为定值.
题型:不详
难度:
|
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