如图,已知椭圆C:+y2=1(a>1)的上顶点为A,离心率为,若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P,Q两点,且·=0.(1)求椭圆C的方程.(2)求证:直
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如图,已知椭圆C:+y2=1(a>1)的上顶点为A,离心率为,若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P,Q两点,且·=0.(1)求椭圆C的方程.(2)求证:直
题型:不详
难度:
来源:
如图,已知椭圆C:
+y
2
=1(a>1)的上顶点为A,离心率为
,若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P,Q两点,且
·
=0.
(1)求椭圆C的方程.
(2)求证:直线l过定点,并求出该定点N的坐标.
答案
(1)
+y
2
=1 (2)见解析
解析
(1)依题意有
⇒
故椭圆C的方程为:
+y
2
=1.
(2)由
·
=0,知AP⊥AQ,从而直线AP与坐标轴不垂直,由A(0,1)可设直线AP的方程为y=kx+1,直线AQ的方程为y=-
x+1(k≠0).
将y=kx+1代入椭圆C的方程
+y
2
=1并整理得:(1+3k
2
)x
2
+6kx=0,
解得x=0或x=-
,
因此P的坐标为(-
,-
+1),
即(-
,
),
将上式中的k换成-
,得Q(
,
).
直线l的方程为y=
(x-
)+
,化简得直线l的方程为y=
x-
,
因此直线l过定点N(0,-
).
举一反三
给定椭圆C:
+
=1(a>b>0),称圆心在原点O,半径为
的圆是椭圆C的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为F(
,0),其短轴上的一个端点到F的距离为
.
(1)求椭圆C的方程和其“准圆”的方程.
(2)点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点,过动点P作直线l
1
,l
2
使得l
1
,l
2
与椭圆C都只有一个交点,且l
1
,l
2
分别交其“准圆”于点M,N.
①当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时,求l
1
,l
2
的方程;
②求证:|MN|为定值.
题型:不详
难度:
|
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直线l与椭圆
+
=1(a>b>0)交于A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)两点,已知m=(ax
1
,by
1
),n=(ax
2
,by
2
),若m⊥n且椭圆的离心离e=
,又椭圆经过点(
,1),O为坐标原点.
(1)求椭圆的方程.
(2)试问:△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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若实数
x
,
y
满足
x
|
x
|-
y
|
y
|=1,则点(
x
,
y
)到直线
y
=
x
的距离的取值范围是( )
A.[1,
)
B.(0,
]
C.
D.(0,1]
题型:不详
难度:
|
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如图,
F
1
、
F
2
分别是椭圆
C
:
=1(
a
>
b
>0)的左、右焦点,
A
是椭圆
C
的顶点,
B
是直线
AF
2
与椭圆
C
的另一个交点,∠
F
1
AF
2
=60°.
(1)求椭圆
C
的离心率;
(2)已知△
AF
1
B
的面积为40
,求
a
,
b
的值.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
M
:
=1(
a
>
b
>0)的短半轴长
b
=1,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+4
.
(1)求椭圆
M
的方程;
(2)设直线
l
:
x
=
my
+
t
与椭圆
M
交于
A
,
B
两点,若以
AB
为直径的圆经过椭圆的右顶点
C
,求
t
的值.
题型:不详
难度:
|
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