坐标平面上有两个定点A,B和动点P,如果直线PA,PB的斜率之积为定值m,则点P的轨迹可能是:①椭圆;②双曲线;③抛物线;④圆;⑤直线.试将正确的序号填在横线上
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坐标平面上有两个定点A,B和动点P,如果直线PA,PB的斜率之积为定值m,则点P的轨迹可能是:①椭圆;②双曲线;③抛物线;④圆;⑤直线.试将正确的序号填在横线上
题型:不详
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坐标平面上有两个定点A,B和动点P,如果直线PA,PB的斜率之积为定值m,则点P的轨迹可能是:①椭圆;②双曲线;③抛物线;④圆;⑤直线.试将正确的序号填在横线上:
.
答案
①②④⑤
解析
以直线AB为x轴,线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系,设A(-a,0),B(a,0),P(x,y),则有
·
=m,即mx
2
-y
2
=a
2
m,
当m<0且m≠-1时,轨迹为椭圆;当m>0时,轨迹为双曲线;当m=-1时,轨迹为圆;当m=0时,轨迹为一直线;但轨迹不可能是抛物线.
举一反三
如图,已知椭圆C:
+y
2
=1(a>1)的上顶点为A,离心率为
,若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P,Q两点,且
·
=0.
(1)求椭圆C的方程.
(2)求证:直线l过定点,并求出该定点N的坐标.
题型:不详
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给定椭圆C:
+
=1(a>b>0),称圆心在原点O,半径为
的圆是椭圆C的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为F(
,0),其短轴上的一个端点到F的距离为
.
(1)求椭圆C的方程和其“准圆”的方程.
(2)点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点,过动点P作直线l
1
,l
2
使得l
1
,l
2
与椭圆C都只有一个交点,且l
1
,l
2
分别交其“准圆”于点M,N.
①当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时,求l
1
,l
2
的方程;
②求证:|MN|为定值.
题型:不详
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直线l与椭圆
+
=1(a>b>0)交于A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)两点,已知m=(ax
1
,by
1
),n=(ax
2
,by
2
),若m⊥n且椭圆的离心离e=
,又椭圆经过点(
,1),O为坐标原点.
(1)求椭圆的方程.
(2)试问:△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.
题型:不详
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若实数
x
,
y
满足
x
|
x
|-
y
|
y
|=1,则点(
x
,
y
)到直线
y
=
x
的距离的取值范围是( )
A.[1,
)
B.(0,
]
C.
D.(0,1]
题型:不详
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如图,
F
1
、
F
2
分别是椭圆
C
:
=1(
a
>
b
>0)的左、右焦点,
A
是椭圆
C
的顶点,
B
是直线
AF
2
与椭圆
C
的另一个交点,∠
F
1
AF
2
=60°.
(1)求椭圆
C
的离心率;
(2)已知△
AF
1
B
的面积为40
,求
a
,
b
的值.
题型:不详
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