抛物线在点,处的切线垂直相交于点,直线与椭圆相交于,两点.(1)求抛物线的焦点与椭圆的左焦点的距离;(2)设点到直线的距离为,试问:是否存在直线,使得,,成等比

抛物线在点,处的切线垂直相交于点,直线与椭圆相交于,两点.(1)求抛物线的焦点与椭圆的左焦点的距离;(2)设点到直线的距离为,试问:是否存在直线,使得,,成等比

题型:不详难度:来源:
抛物线在点处的切线垂直相交于点,直线与椭圆相交于两点.

(1)求抛物线的焦点与椭圆的左焦点的距离;
(2)设点到直线的距离为,试问:是否存在直线,使得成等比数列?若存在,求直线的方程;若不存在,请说明理由.
答案
(1);(2)不存在.
解析

试题分析:(1)分别求出抛物线与椭圆的焦点,利用两点间距离公式求解;(2)设直线与抛物线相交于与椭圆相交于,,所以直线与抛物线方程联立,得到然后利用,求出切线的斜率,利用切线垂直,,解出m,然后分别设出过点的切线方程,求出交点的坐标,利用点到直线的距离公式求,直线与曲线相交的弦长公式求,若成等比数列,则,化简等式,通过看方程实根情况.
试题解析:(I)抛物线的焦点,               1分
椭圆的左焦点,           2分
.                       3分
(II)设直线
,得,        4分

,得
故切线的斜率分别为
再由,得

,这说明直线过抛物线的焦点.       7分
,得
,即.     8分
于是点到直线的距离.    9分
,得,     10分
从而,       11分
同理,.                  12分
成等比数列,则,              13分

化简整理,得,此方程无实根,
所以不存在直线,使得成等比数列.          15分
举一反三
已知点是双曲线右支上一点,是双曲线的左焦点,且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线,则该双曲线的离心率是(      )
A.B.C.D.

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直线与曲线的交点个数是       
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已知椭圆的离心率为,直线与圆相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆的交点为,求弦长.
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已知动直线与椭圆交于两不同点,且△的面积=,其中为坐标原点.
(1)证明均为定值;
(2)设线段的中点为,求的最大值;
(3)椭圆上是否存在点,使得?若存在,判断△的形状;若不存在,请说明理由.
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如图,是椭圆的左、右顶点,椭圆的离心率为,右准线的方程为.

(1)求椭圆方程;
(2)设是椭圆上异于的一点,直线于点,以为直径的圆记为. ①若恰好是椭圆的上顶点,求截直线所得的弦长;
②设与直线交于点,试证明:直线轴的交点为定点,并求该定点的坐标.
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