已知是抛物线上的两个点,点的坐标为,直线的斜率为k, 为坐标原点.(Ⅰ)若抛物线的焦点在直线的下方,求k的取值范围;(Ⅱ)设C为W上一点,且,过两点分别作W的切
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已知是抛物线上的两个点,点的坐标为,直线的斜率为k, 为坐标原点.(Ⅰ)若抛物线的焦点在直线的下方,求k的取值范围;(Ⅱ)设C为W上一点,且,过两点分别作W的切
题型:不详
难度:
来源:
已知
是抛物线
上的两个点,点
的坐标为
,直线
的斜率为k,
为坐标原点.
(Ⅰ)若抛物线
的焦点在直线
的下方,求k的取值范围;
(Ⅱ)设C为W上一点,且
,过
两点分别作W的切线,记两切线的交点为
,求
的最小值.
答案
(Ⅰ)
;(Ⅱ)
.
解析
试题分析:(Ⅰ)直线
过点
,且斜率为k,所以直线方程可设为
,若焦点
在直线
的下方,则满足不等式
,代入求
的范围;(Ⅱ)设直线
的方程为
,
,分别与抛物线
联立,因为直线和抛物线的一个交点坐标
已知,故可利用韦达定理求出切点
的坐标,再求出切线
和
的方程,进而联立求交点
的坐标,再求
的最小值即可.
试题解析:(Ⅰ)解:抛物线
的焦点为
. 由题意,得直线
的方程为
,
令
,得
,即直线
与y轴相交于点
. 因为抛物线
的焦点在直线
的下方,
所以
,解得
.
(Ⅱ)解:由题意,设
,
,
,
联立方程
消去
,得
, 由韦达定理,得
,所以
.
同理,得
的方程为
,
. 对函数
求导,得
,
所以抛物线
在点
处的切线斜率为
,所以切线
的方程为
, 即
. 同理,抛物线
在点
处的切线
的方程为
.联立两条切线的方程
解得
,
,所以点
的坐标为
. 因此点
在定直线
上.因为点
到直线
的距离
,所以
,当且仅当点
时等号成立. 由
,得
,验证知符合题意.所以当
时,
有最小值
.
举一反三
已知
是抛物线
上的两个点,点
的坐标为
,直线
的斜率为
.设抛物线
的焦点在直线
的下方.
(Ⅰ)求k的取值范围;
(Ⅱ)设C为W上一点,且
,过
两点分别作W的切线,记两切线的交点为
. 判断四边形
是否为梯形,并说明理由.
题型:不详
难度:
|
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如图所示,已知椭圆
的两个焦点分别为
、
,且
到直线
的距离等于椭圆的短轴长.
(Ⅰ) 求椭圆
的方程;
(Ⅱ) 若圆
的圆心为
(
),且经过
、
,
是椭圆
上的动点且在圆
外,过
作圆
的切线,切点为
,当
的最大值为
时,求
的值.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
:
的离心率为
且与双曲线
:
有共同焦点.
(1)求椭圆
的方程;
(2)在椭圆
落在第一象限的图像上任取一点作
的切线
,求
与坐标轴围成的三角形的面积的最小值;
(3)设椭圆
的左、右顶点分别为
,过椭圆
上的一点
作
轴的垂线交
轴于点
,若
点满足
,
,连结
交
于点
,求证:
.
题型:不详
难度:
|
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在平面直角坐标系
中,已知过点
的椭圆
:
的右焦点为
,过焦点
且与
轴不重合的直线与椭圆
交于
,
两点,点
关于坐标原点的对称点为
,直线
,
分别交椭圆
的右准线
于
,
两点.
(1)求椭圆
的标准方程;
(2)若点
的坐标为
,试求直线
的方程;
(3)记
,
两点的纵坐标分别为
,
,试问
是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知点
在抛物线
:
上.
(1)若
的三个顶点都在抛物线
上,记三边
,
,
所在直线的斜率分别为
,
,
,求
的值;
(2)若四边形
的四个顶点都在抛物线
上,记四边
,
,
,
所在直线的斜率分别为
,
,
,
,求
的值.
题型:不详
难度:
|
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