已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．(Ⅰ）求椭圆的方程；(Ⅱ）已知动直线与椭圆相交于、两点． ①若线段中点的横坐标为，求斜率的

题型：不详难度：来源：

已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．
(Ⅰ）求椭圆的方程；
(Ⅱ）已知动直线与椭圆相交于、两点． ①若线段中点的横坐标为，求斜率的值；②若点，求证：为定值．

答案

(Ⅰ)；(Ⅱ)①；②.

解析

试题分析：(Ⅰ)根据已知条件可设椭圆方程为：，则有，，，求解即可得到和的值，将对应的解代入椭圆方程即可；(Ⅱ)①将直线方程代入椭圆方程求得，，求得、两点的横坐标之和为，由已知条件“中点的横坐标为”，得到，从而解得的值；
②根据①的、两点的坐标求得③，结合、两点坐标满足直线方程，将③式化简整理得，再由①中的根与系数的关系：，，代入化简即可.
试题解析：(Ⅰ)因为满足，，，
解得，，
则椭圆方程为：.                3分
(Ⅱ)①将代入中得，，
，
设，，则，
因为中点的横坐标为，所以，
解得.            6分
②由①知，，，
所以




.                  12分