平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:右焦点的直线交于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为.(Ι)求M的方程;(Ⅱ)C,D为M上的两点,若四边形ACBD的对角

平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:右焦点的直线交于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为.(Ι)求M的方程;(Ⅱ)C,D为M上的两点,若四边形ACBD的对角

题型:不详难度:来源:
平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:右焦点的直线于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为.
(Ι)求M的方程;
(Ⅱ)C,D为M上的两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形面积的最大值
答案
(Ι) (Ⅱ)
解析
(Ι)设,(1)-(2)得:
,因为,设,因为P为AB的中点,且OP的斜率为,所以,即,所以可以解得,即,即,又因为,所以,所以M的方程为.
(Ⅱ)因为CD⊥AB,直线AB方程为,所以设直线CD方程为
代入得:,即,所以可得
;将代入得:,设
=,又因为,即,所以当时,|CD|取得最大值4,所以四边形ACBD面积的最大值为.
本题第(Ⅰ)问,属于中点弦问题,运用设而不求的数学思想;第(Ⅱ)问,运用弦长公式求出弦长,然后由面积公式求出面积的最大值.对第(Ⅰ)问,一部分同学想不到设而不求的思想,容易联立方程组求解而走弯路;第(Ⅱ)问,容易出现计算失误.
【考点定位】本小题考查椭圆的方程的求解、直线与椭圆的位置关系,考查数学中的待定系数法、设而不求思想 ,考查同学们的计算能力以及分析问题、解决问题的能力.圆锥曲线是高考的热点问题,年年必考,熟练本部分的基础知识是解答好本类问题的关键.
举一反三
已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8.
(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程;
(Ⅱ) 已知点B(-1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是的角平分线, 证明直线l过定点.
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已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为     .
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设AB是椭圆Γ的长轴,点C在Γ上,且∠CBA=,若AB=4,BC=,则Γ的两个焦点之间的距离为  
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记椭圆围成的区域(含边界)为Ωn(n=1,2,…),当点(x,y)分别在Ω1,Ω2,…上时,x+y的最大值分别是M1,M2,…,则Mn=(  )
A.0B.C.2D.2

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已知是椭圆和双曲线的公共顶
点。是双曲线上的动点,是椭圆上的动点(都异于),且满足,其中,设直线的斜率 分别记为, ,则        
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