直线与椭圆相交于,两点,为坐标原点.(Ⅰ)当点的坐标为,且四边形为菱形时,求的长;(Ⅱ)当点在上且不是的顶点时,证明:四边形不可能为菱形.
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直线与椭圆相交于,两点,为坐标原点.(Ⅰ)当点的坐标为,且四边形为菱形时,求的长;(Ⅱ)当点在上且不是的顶点时,证明:四边形不可能为菱形.
题型:不详
难度:
来源:
直线
与椭圆
相交于
,
两点,
为坐标原点.
(Ⅰ)当点
的坐标为
,且四边形
为菱形时,求
的长;
(Ⅱ)当点
在
上且不是
的顶点时,证明:四边形
不可能为菱形.
答案
利用椭圆的对称性,结合图形完成第(I)小题.设出直线方程,把直线方程和椭圆方程联立,设而不求,结合菱形的特点进行判断.
解析
(I) 椭圆W:
的右顶点
,因为四边形OABC为菱形,所以
和
互相垂直平分.
所以可设
,代入椭圆方程得
,解得
.
所以菱形OABC的面积为
.
(II)假设四边形OABC为菱形.
因为点B不是W的顶点,且直线AC不过原点,所以可设AC的方程为y=kx+m,k≠0,m≠0..
由
消去y并整理得
.
设
,则
,
,
所以AC的中点
.
因为M为AC和OB的交点,所以直线OB的斜率为
.
因为
,所以AC和OB不垂直.
所以四边形OABC不是菱形,与假设矛盾.
所以当B不是W的顶点,四边形OABC不可能是菱形.
【考点定位】本题考查了椭圆的性质和直线与椭圆的位置关系.通过整体代换,设而不求,考查了数据处理能力和整体思想的应用.
举一反三
已知椭圆
的焦距为4,且过点
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设
为椭圆
上一点,过点
作
轴的垂线,垂足为
。取点
,连接
,过点
作
的垂线交
轴于点
。点
是点
关于
轴的对称点,作直线
,问这样作出的直线
是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由.
题型:不详
难度:
|
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双曲线
的顶点到渐进线的距离等于( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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如图,在正方形
中,
为坐标原点,点
的坐标为
,点
的坐标为
,分别将线段
和
十等分,分点分别记为
和
,连接
,过
作
轴的垂线与
交于点
。
(1)求证:点
都在同一条抛物线上,并求抛物线
的方程;
(2)过点
作直线
与抛物线E交于不同的两点
, 若
与
的面积之比为4:1,求直线
的方程。
题型:不详
难度:
|
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若双曲线
的离心率为
,则其渐近线方程为( )
A.y=±2x
B.y=
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
的左焦点为
.
题型:不详
难度:
|
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