已知椭圆的长轴长为,离心率为,分别为其左右焦点.一动圆过点,且与直线相切.(1)求椭圆及动圆圆心轨迹的方程;(2) 在曲线上有两点、,椭圆上有两点、,满足与共线
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已知椭圆的长轴长为,离心率为,分别为其左右焦点.一动圆过点,且与直线相切.(1)求椭圆及动圆圆心轨迹的方程;(2) 在曲线上有两点、,椭圆上有两点、,满足与共线
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆
的长轴长为
,离心率为
,
分别为其左右焦点.一动圆过点
,且与直线
相切.
(1)求椭圆
及动圆圆心轨迹
的方程;
(2) 在曲线
上有两点
、
,椭圆
上有两点
、
,满足
与
共线,
与
共线,且
,求四边形
面积的最小值.
答案
(1)
,
(2)四边形PMQN面积的最小值为8
解析
试题分析:解:(1)(ⅰ)由已知可得
,
则所求椭圆方程
. 3分
(ⅱ)由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线,且抛物线
的焦点为
,准线方程为
,则动圆圆心轨迹方程为
. 5分
(2)当直线MN的斜率不存在时,
,此时PQ的长即为椭圆长轴长,
从而
6分
设直线MN的斜率为k,则k≠0,直线MN的方程为:
,
直线PQ的方程为
设
由
,消去
可得
---8分
由抛物线定义可知:
9分
由
消去
得
,
从而
10分
∴
令
,∵
则
则
=
,所以
=
>8 11分
所以四边形PMQN面积的最小值为8 12分
点评:主要是考查了轨迹方程的求解,以及联立方程组结合韦达定理来求解面积,属于基础题。
举一反三
设椭圆
的左、右焦点分别为
,
为椭圆上异于长轴端点的一点,
,△
的内心为I,则
( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线
的准线经过椭圆
的左焦点,且经过抛物线与椭圆两个交点的弦过抛物线的焦点,则椭圆的离心率为_____________
题型:不详
难度:
|
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已知离心率为
的椭圆
上的点到左焦点
的最长距离为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)如图,过椭圆的左焦点
任作一条与两坐标轴都不垂直的弦
,若点
在
轴上,且使得
为
的一条内角平分线,则称点
为该椭圆的“左特征点”,求椭圆的“左特征点”
的坐标.
题型:不详
难度:
|
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已知中心在坐标原点焦点在
轴上的椭圆C,其长轴长等于4,离心率为
.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若点
(0,1), 问是否存在直线
与椭圆
交于
两点,且
?若存在,求出
的取值范围,若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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设
是椭圆
上的两点,已知向量
,若
且椭圆的离心率
,短轴长为2,
O
为坐标原点.
(1)求椭圆的方程;
(2)试问△
AOB
的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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