已知椭圆的长轴长为,离心率为,分别为其左右焦点.一动圆过点,且与直线相切.(1)求椭圆及动圆圆心轨迹的方程;(2) 在曲线上有两点、,椭圆上有两点、,满足与共线

已知椭圆的长轴长为,离心率为,分别为其左右焦点.一动圆过点,且与直线相切.(1)求椭圆及动圆圆心轨迹的方程;(2) 在曲线上有两点、,椭圆上有两点、,满足与共线

题型:不详难度:来源:
已知椭圆的长轴长为,离心率为分别为其左右焦点.一动圆过点,且与直线相切.
(1)求椭圆及动圆圆心轨迹的方程;
(2) 在曲线上有两点,椭圆上有两点,满足共线,共线,且,求四边形面积的最小值.
答案
(1)
(2)四边形PMQN面积的最小值为8
解析

试题分析:解:(1)(ⅰ)由已知可得
则所求椭圆方程.           3分
(ⅱ)由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线,且抛物线的焦点为,准线方程为,则动圆圆心轨迹方程为.               5分
(2)当直线MN的斜率不存在时,,此时PQ的长即为椭圆长轴长,
从而            6分
设直线MN的斜率为k,则k≠0,直线MN的方程为:
直线PQ的方程为

,消去可得---8分
由抛物线定义可知:
9分
消去
从而                 10分

,∵

=,所以=>8           11分
所以四边形PMQN面积的最小值为8                                  12分
点评:主要是考查了轨迹方程的求解,以及联立方程组结合韦达定理来求解面积,属于基础题。
举一反三
设椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上异于长轴端点的一点,,△的内心为I,则(   )
A.B.C.D.

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已知抛物线的准线经过椭圆的左焦点,且经过抛物线与椭圆两个交点的弦过抛物线的焦点,则椭圆的离心率为_____________
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已知离心率为的椭圆上的点到左焦点的最长距离为

(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)如图,过椭圆的左焦点任作一条与两坐标轴都不垂直的弦,若点轴上,且使得的一条内角平分线,则称点为该椭圆的“左特征点”,求椭圆的“左特征点”的坐标.
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已知中心在坐标原点焦点在轴上的椭圆C,其长轴长等于4,离心率为
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若点(0,1), 问是否存在直线与椭圆交于两点,且?若存在,求出的取值范围,若不存在,请说明理由.
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是椭圆上的两点,已知向量,若且椭圆的离心率,短轴长为2,O为坐标原点.
(1)求椭圆的方程;
(2)试问△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.
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