(本题满分13分)已知平面上的动点及两定点A(-2,0),B(2,0),直线PA,PB的斜率分别是,,且·。(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)已知直线与曲线C
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(本题满分13分)已知平面上的动点及两定点A(-2,0),B(2,0),直线PA,PB的斜率分别是,,且·。(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)已知直线与曲线C
题型:不详
难度:
来源:
(本题满分13分)已知平面
上的动点
及两定点A(-2,0),B(2,0),直线PA,PB的斜率分别是
,
,且
·
。(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)已知直线
与曲线C交于M,N两点,且直线BM,BN的斜率都存在并满足
·
,求证:直线
过原点。
答案
(Ⅰ)
(
≠
2) (Ⅱ) 见解析
解析
(1)由题意,
·
,(
≠
2),(2′)
即
.所求P点轨迹C的方程为
(
≠
2)(6′)
(2)设
,
,联立方程
得,
.(8′)所以
,
所以
.(10′)
又
·
即
·
.所以
.
代入得,
(11′)
所以
即
或
.(13′)
当
时,直线恒过原点;当
时直线恒过(2,0)但不符合题意。
所以,直线恒过原点。(14′)
举一反三
(本小题满分13分)若椭圆
:
的离心率等于
,抛物线
:
的焦点在椭圆的顶点上。(Ⅰ)求抛物线
的方程;
(Ⅱ)求
的直线
与抛物线
交
、
两点,又过
、
作抛物线
的切线
、
,当
时,求直线
的方程;
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分13分)如图,
,
分别是椭圆
(
a
>
b
>0)的左右焦点,
M
为椭圆上一点,
垂直于
x
轴,且
OM
与椭圆长轴和短轴端点的连线
AB
平行。
(1)求椭圆的离心率;
(2)若
G
为椭圆上不同于长轴端点任一点,求∠
取值范围;
(3)过
且与
OM
垂直的直线交椭圆于
P
、
Q
.
求椭圆的方程
题型:不详
难度:
|
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(本题满分15分)抛物线的顶点在原点,焦点在射线x-y+1=0
上
(1)求抛物线的标准方程
(2)过(1)中抛物线的焦点F作动弦AB,过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M,求点M的轨迹方程,并求出
的值
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分15分)已知抛物线
上的一点(m,1)到焦点的距离为
.点
是抛物线上任意一点(除去顶点),过点
与
的直线和抛物线交于点
,过点
与的
直线和抛物线交于点
.分别以点
,
为切点的抛物线的切线交于点P′.
(I)求抛物线的方程;
(II)求证:点P′在y轴上.
题型:不详
难度:
|
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(本题满分15分)已知过点
(
,0)(
)的动直线
交抛物线
于
、
两点,点
与点
关于
轴对称.(I)当
时,求证:
;
(II)对于给定的正数
,是否存在直线
:
,使得
被以
为直径的圆所截得的弦长为定值?如果存在,求出的
方程;如果不存在,试说明理由.
题型:不详
难度:
|
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