已知直线与曲线交于不同的两点，为坐标原点．（Ⅰ）若，求证：曲线是一个圆；（Ⅱ）若，当且时，求曲线的离心率的取值范围．

题型：不详难度：来源：

已知直线与曲线交于不同的两点，为坐标原点．
（Ⅰ）若，求证：曲线是一个圆；
（Ⅱ）若，当且时，求曲线的离心率的取值范围．

答案

解析

证明：设直线与曲线的交点为

∴ 即：
∴                          
在上
∴，
∴两式相减得：   
∴ 即：                 
∴曲线是一个圆                      
（Ⅱ）设直线与曲线的交点为，

∴曲线是焦点在轴上的椭圆                    

∴ 即：               
将代入整理得：

∴，       
在上   ∴
又
∴
∴2
∴
∴
∴
∴
       ∴              

∴
∴