(本小题满分13分) 点在椭圆上,直线与直线垂直,O为坐标原点,直线OP的倾斜角为,直线的倾斜角为.(I)证明: 点是椭圆与直线的唯一交点;
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(本小题满分13分) 点在椭圆上,直线与直线垂直,O为坐标原点,直线OP的倾斜角为,直线的倾斜角为.(I)证明: 点是椭圆与直线的唯一交点;
题型:不详
难度:
来源:
(本小题满分13分)
点
在椭圆
上,
直线
与直线
垂直,
O
为坐标原点,直线
OP
的倾斜角为
,直线
的倾斜角为
.
(I)证明: 点
是椭圆
与直线
的唯一交点;
(II)证明:
构成等比数列.
答案
如下
解析
证明(I)(方法一)由
得
代入椭圆
,
得
.
将
代入上式,得
从而
因此,方程组
有唯一解
,即直线
与椭圆有唯一交点
P
.
(方法二)显然
P
是椭圆与
的交点,若
Q
是椭圆与
的交点,代入
的方程
,得
即
故
P
与
Q
重合。
(方法三)在第一象限内,由
可得
椭圆在点
P
处的切线斜率
切线方程为
即
。
因此,
就是椭圆在点
P
处的切线。
根据椭圆切线的性质,
P
是椭圆与直线
的唯一交点。
(II)
的斜率为
的斜率为
由此得
构成等比数列。
举一反三
(本小题满分14分)
如图,已知圆
是椭圆
的内接△
的内切圆, 其中
为椭圆的左顶点.
(1)求圆
的半径
;
(2)过点
作圆
的两条切线交椭圆于
两点,
G
.
证明:直线
与圆
相切.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分14分)
过抛物线
的对称轴上一点
的直线与抛物线相交于
M
、
N
两点,自
M
、
N
向直线
作垂线,垂足分别为
、
。
(Ⅰ)当
时,求证:
⊥
;
(Ⅱ)记
、
、
的面积分别为
、
、
,是否存在
,使得对任意的
,都有
成立。若存在,求出
的值;若不存在,说明理由。
题型:不详
难度:
|
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若抛物线
的焦点与双曲线
的右焦点重合,则
的值为
.
题型:不详
难度:
|
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(本题满分12分)如图所示,
F
1
、
F
2
是双曲线
x
2
–
y
2
= 1的两个焦点,
O
为坐标原点,
圆
O
是以
F
1
F
2
为直径的圆,直线
l
:
y
=
kx
+
b
与圆
O
相切,并与双曲线交于
A
、B
两点.
(Ⅰ)根据条件求出
b
和
k
的关系式;
(Ⅱ)当
,且满足2≤
m
≤4时,
求△
AOB
面积的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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(12分)如图,设
是椭圆
的左焦点,直线
为对应的准线,直线
与
轴交于
点,
为椭圆的长轴,已知
,且
.
(1)求椭圆的标准方程;(2)求证:对于任意的割线
,恒有
;
(3)求三角形△
ABF
面积的最大值.
题型:不详
难度:
|
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