(1)原点O及直线为曲线C的焦点和相应的准线;(2)被直线垂直平分的直线截曲线C所得的弦长恰好为。若存在,求出曲线C的方程,若不存在,说明理由。
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(1)原点O及直线为曲线C的焦点和相应的准线;(2)被直线垂直平分的直线截曲线C所得的弦长恰好为。若存在,求出曲线C的方程,若不存在,说明理由。
题型:不详
难度:
来源:
(1)原点
O
及直线
为曲线
C
的焦点和相应的准线;
(2)被直线
垂直平分的直线截曲线
C
所得的弦长恰好为
。
若存在,求出曲线
C
的方程,若不存在,说明理由。
答案
解:设存在符合题设的圆锥曲线
C
,此曲线离心率为
(
>0),
P
(
x
,
y
)是曲线
C
上任一点。
由圆锥曲线的定义有
化简整理得,
①
设曲线
C
被直线
垂直平分,其弦长为
的弦所在直线方程为
,这弦的两个端点
将
代入①式中,消去
y
得
②
由题意
0,
由此可解得
AB
的中点
D
的坐标为
由条件(2),中点
D
在
,于是有:
解③
,代入④得
。
经检验符合题意,因此符合条件的曲线
C
存在,其方程为
。
解析
这是一道开放性的题目,探求满足上述两个条件的圆锥曲线是否存在,本题的难点是题目没有具体的给出圆锥曲线的形状,由条件(1)给出焦点和相应的准线,因此可考虑用圆锥曲线统一定义,设离心率为
,通过计算,推理,探求
的存在性。
举一反三
的坐标;
(2)已知
A
,
B
求点
C
使
;
(3)已知椭圆两焦点
F
1
,
F
2
,离心率
e
=0.8。求此椭圆长轴上
两顶点的坐标。
题型:不详
难度:
|
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(本题满分12分)F
1
、F
2
分别是双曲线
x
2
-
y
2
=1的两个焦点,O为坐标原点,圆O是以F
1
F
2
为直径的圆,直线
l
:
y
=
kx
+
b
(
b
>0)与圆O相切,并与双曲线相交于A、B两点.(Ⅰ)根据条件求出
b
和
k
满足的关系式;(Ⅱ)向量
在向量
方向的投影是
p
,当(×)
p
2
=1时,求直线
l
的方程;(Ⅲ)当(×)
p
2
=
m
且满足2≤
m
≤4时,求DAOB面积的取值范围.
题型:不详
难度:
|
查看答案
抛物线
的焦点到准线的距离是
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
设椭圆
:
的离心率为
,点
(
,0),
(0,
),原点
到直线
的距离为
.
(Ⅰ)求椭圆
的方程;
(Ⅱ)设点
为(
,0),点
在椭圆
上(与
、
均不重合),点
在直线
上,若直线
的方程为
,且
,试求直线
的方程.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知抛物线C:
上横坐标为4的点到焦点的距离为5.
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)设直线
与抛物线
C
交于两点
,
,且
(
,且
为常数).过弦
AB
的中点
M
作平行于
轴的直线交抛物线于点
D
,连结
AD
、
BD
得到
.
(1)求证:
;
(2)求证:
的面积为定值.
题型:不详
难度:
|
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