已知抛物线C:上横坐标为4的点到焦点的距离为5.(Ⅰ)求抛物线C的方程;(Ⅱ)设直线与抛物线C交于两点,,且(,且为常数).过弦AB的中点M作平行于轴的直线交抛
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已知抛物线C:上横坐标为4的点到焦点的距离为5.(Ⅰ)求抛物线C的方程;(Ⅱ)设直线与抛物线C交于两点,,且(,且为常数).过弦AB的中点M作平行于轴的直线交抛
题型:不详
难度:
来源:
已知抛物线C:
上横坐标为4的点到焦点的距离为5.
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)设直线
与抛物线
C
交于两点
,
,且
(
,且
为常数).过弦
AB
的中点
M
作平行于
轴的直线交抛物线于点
D
,连结
AD
、
BD
得到
.
(1)求证:
;
(2)求证:
的面积为定值.
答案
解析
解 (1)依题意得:
,解得
.
所以抛物线方程为
.
(2)由方程组
消去
得:
.(※)
依题意可知:
.
由已知得
,
.
由
,得
,
即
,整理得
.
所以
.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知
中点
,
所以点
,
依题意知
.
又因为方程(※)中判别式
,得
.
所以
,由(Ⅱ)可知
,
所以
.
又
为常数,故
的面积为定值.
举一反三
已知
A,B
是抛物线
上的两个动点,
为坐标原点,非零向量
满足
.
(Ⅰ)求证:直线
经过一定点;
(Ⅱ)当
的中点到直线
的距离的最小值为
时,求
的值.
题型:不详
难度:
|
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已知以向量
v
=
(1,
)为方向向量的直线
l
过点(0,
),抛物线
C
:
(
p
>0)的顶点关于直线
l
的对称点在该抛物线上.
(Ⅰ)求抛物线
C
的方程;
(Ⅱ)设
A
、
B
是抛物线
C
上两个动点,过
A
作平行于
x
轴的直线
m
,直线
OB
与直线
m
交于点
N
,若
(
O
为原点,
A
、
B
异于原点),试求点
N
的轨迹方程.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知抛物线的方程为
,
过点
M
(0,
m
)且倾斜角为
的直线交抛物线于
A
(
x
1
,
y
1
),
B
(
x
2
,
y
2
)两点,且
(1)求
m
的值
(2)(文)若点
M
分
所成的比为
,求直线
AB
的方程
(理)若点
M
分
所成的比为
,求
关于
的函数关系式。
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分13分)
点
在椭圆
上,
直线
与直线
垂直,
O
为坐标原点,直线
OP
的倾斜角为
,直线
的倾斜角为
.
(I)证明: 点
是椭圆
与直线
的唯一交点;
(II)证明:
构成等比数列.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分14分)
如图,已知圆
是椭圆
的内接△
的内切圆, 其中
为椭圆的左顶点.
(1)求圆
的半径
;
(2)过点
作圆
的两条切线交椭圆于
两点,
G
.
证明:直线
与圆
相切.
题型:不详
难度:
|
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