如图所示,已知圆,定点,为圆上一动点,点在上,点在上,且满足,,点的轨迹为曲线.(Ⅰ) 求曲线的方程;(Ⅱ) 若点在曲线上,线段的垂直平分线为直线,且成等差数列
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如图所示,已知圆,定点,为圆上一动点,点在上,点在上,且满足,,点的轨迹为曲线.(Ⅰ) 求曲线的方程;(Ⅱ) 若点在曲线上,线段的垂直平分线为直线,且成等差数列
题型:不详
难度:
来源:
如图所示,已知圆
,定点
,
为圆上一动点,点
在
上,点
在
上,且满足
,
,点
的轨迹为曲线
.
(Ⅰ) 求曲线
的方程;
(Ⅱ) 若点
在曲线
上,线段
的垂直平分线为直线
,且
成等差数列,求
的值,并证明直线
过定点;
(Ⅲ)若过定点
(0,2)的直线交曲线
于不同的两点
、
(点
在点
、
之间),且满足
,求
的取值范围.
答案
解析
解:(Ⅰ)由题意知,圆
的圆心为
,半径
.
∵
.
∴
为线段
的垂直平分线,∴
.
又∵
,∴
.
∴ 动点
的轨迹是以点
(-1,0),
(1,0)为焦点且长轴长为
的椭圆. ……………………2分
∴
.
∴ 曲线
的方程为
. ……………………3分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,曲线
的轨迹为椭圆,
为右焦点,其右准线方程为
设
到直线
的距离为
.
根据椭圆的定义知
,
得
.
同理可得:
,
. ……………………5分
∵
成等差数列,
∴
,代入得
. ……………………6分
下面证明直线
过定点.
由
,可设线段
的中点为(
.
∴
得
.
∴ 直线
的斜率
,则直线
的方程为:
,
即
. ……………………8分
∴ 直线
过定点,定点为
. ……………………9分
(Ⅲ)当直线
斜率存在时,设直线
方程为
,
代入椭圆
,得
.
由
得
. ……………………10分
设
,
, ①
. ②
又∵
,
即
. ∴
. ③
由①②③联立得
,
即
,整理得
. ………………12分
∵
,∴
,
∴
,解得
且
.
又∵
, ∴
. ……………………13分
当直线
斜率不存在时,直线
方程为
,此时
,即
.
∴
,即所求
的取值范围是
. ……………………14分
举一反三
(本小题满分12分)
求适合下列条件的圆锥曲线方程:
(1).长轴长是短轴长的3倍,经过点(3,0)的椭圆标准方程。
(2).已知双曲线两个焦点的坐标为
,双曲线上一点P到两焦点的距离之差的绝对值等于6,求双曲线标准方程.
(3).已知抛物线的顶点在原点,准线与其平行线x=2的距离为3,求抛物线标准方程.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分12分)
已知A、B两点的坐标分别是(-1,0)、(1,0),直线
相交于点
,且它们的斜率之积为
,求点
的轨迹方程并判断轨迹形状。
题型:不详
难度:
|
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(满分12分)如图,在平面直角坐标系中,
为坐标原点,点
,
且点
是
轴上动点,过点
作线段
的
垂线交
轴于点
,在直线
上取点
,使
。
(1)求动点
的轨迹
的方程;
(2)点
是直线
上的一个动点,
过点
作轨迹
的两条切线切点分别为
,
求证:
题型:不详
难度:
|
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A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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(原创题)
已知
是曲线
上一点,
是该曲线的两个焦点,若
内角平分线的交点到三边上的距离为1,,则
的值为
A.
B.
C.-
D.
题型:不详
难度:
|
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