点P到x轴的距离比它到点(0,1)的距离小1,称点P的轨迹为曲线C,点M为直线l:y=-m(m>0)上任意一点,过点M作曲线C的两条切线MA,MB,切点分别为A
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点P到x轴的距离比它到点(0,1)的距离小1,称点P的轨迹为曲线C,点M为直线l:y=-m(m>0)上任意一点,过点M作曲线C的两条切线MA,MB,切点分别为A
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点P到x轴的距离比它到点(0,1)的距离小1,称点P的轨迹为曲线C,点M为直线l:y=-m(m>0)上任意一点,过点M作曲线C的两条切线MA,MB,切点分别为A,B.
(1)求曲线C的轨迹方程;
(2)当M的坐标为(0,-l)时,求过M,A,B三点的圆的标准方程,并判断直线l与此圆的位置关系;
(3)当m变化时,试探究直线l上是否存在点M,使MA⊥MB?若存在,有几个这样的点,若不存在,请说明理由.
答案
(1)∵点P到x轴的距离比点P到点(0,1)的距离小1,
∴点P到直线y=-1的距离等于点P到点(0,1)的距离,
∴点P的轨迹是焦点在(0,1),准线为y=-1的抛物线,
∴点P的轨迹方程为:x
2
=4y.
(2)当M的坐标为(0,-1)时,设过M点的切线方程为y=kx-1,
代入x
2
=4y,整理得x
2
-4kx+4=0,①
令△=(4k)
2
-4×4=0,解得k=±1,代入方程①得x=±2,故得A(2,1),B(-2,1),|AB|=4.
∵M到AB的中点(0,1)的距离为2,
∴过M,A,B三点的圆的标准方程为x
2
+(y-1)
2
=4.
易知圆与直线l:y=-1相切.
(3)设M(x
0
,-m),过M的切线方程为:y=k(x-x
0
)-m.
联立
x
2
=4y
y=k(x-
x
0
)-m
整理得x
2
-4kx+4(kx
0
+m)=0,
∵直线与抛物线相切,∴△=0.
即16k
2
-16(kx
0
+m)=0,整理得k
2
-kx
0
-m=0,
∴k
MA
+k
MB
=x
0
,k
MA
•k
MB
=-m
若MA⊥MB,则k
MA
•k
MB
=-m=-1.
即m=1时,直线l上任意一点M均有MA⊥MB;
m≠1时,MA与MB不垂直.
综上所述,当m=1时,直线l上存在无穷多个点M,使MA⊥MB,
当m≠1时,直线l上不存在满足条件的点M.
举一反三
已知
为椭圆E的两个左右焦点,抛物线C以
为顶点,
为焦点,设P为椭圆与抛物线的一个交点,如果椭圆离心率e满足
,则e的值为( )
M
A.
B.
C.
D.
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若抛物线
的焦点与椭圆
的右焦点重合,则
的值为( )
A.
B.2
C.
D.4
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已知抛物线
上任意一点到焦点F的距离比到
轴的距离大1,(1)求抛物线C的方程;(2)若过焦点F的直线交抛物线于M,N两点,M在第一象限,且
,求直线MN的方程;(3)过点
的直线交抛物线
于P、Q两点,设点P关于
轴的对称点为R,求证:直线RQ必过定点.
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已知抛物线
:
上一点
到其焦点的距离为
.
(I)求
与
的值;
(II)设抛物线
上一点
的横坐标为
,过
的直线交
于另一点
,交
轴于点
,过点
作
的垂线交
于另一点
.若
是
的切线,求
的最小值.
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设
分别是双曲线
的左、右焦点.若点
在双曲线上,且
,则
.
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