如图,双曲线x2a2-y2b2=1(a,b>0)的两顶点为A1,A2,虚轴两端点为B1,B2,两焦点为F1,F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B
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如图,双曲线x2a2-y2b2=1(a,b>0)的两顶点为A1,A2,虚轴两端点为B1,B2,两焦点为F1,F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B
题型:不详
难度:
来源:
如图,双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a,b>0)的两顶点为A
1
,A
2
,虚轴两端点为B
1
,B
2
,两焦点为F
1
,F
2
.若以A
1
A
2
为直径的圆内切于菱形F
1
B
1
F
2
B
2
,切点分别为A,B,C,D.则:
(Ⅰ)双曲线的离心率e=______;
(Ⅱ)菱形F
1
B
1
F
2
B
2
的面积S
1
与矩形ABCD的面积S
2
的比值
S
1
S
2
=______.
答案
(Ⅰ)直线B
2
F
1
的方程为bx-cy+bc=0,所以O到直线的距离为
|bc|
b
2
+
c
2
∵以A
1
A
2
为直径的圆内切于菱形F
1
B
1
F
2
B
2
,
∴
|bc|
b
2
+
c
2
=a
∴(c
2
-a
2
)c
2
=(2c
2
-a
2
)a
2
∴c
4
-3a
2
c
2
+a
4
=0
∴e
4
-3e
2
+1=0
∵e>1
∴e=
5
+1
2
(Ⅱ)菱形F
1
B
1
F
2
B
2
的面积S
1
=2bc
设矩形ABCD,BC=2m,BA=2n,∴
m
n
=
c
b
∵m
2
+n
2
=a
2
,∴
m=
ac
b
2
+
c
2
,
n=
ab
b
2
+
c
2
∴面积S
2
=4mn=
4a
2
bc
b
2
+
c
2
∴
S
1
S
2
=
b
2
+
c
2
2
a
2
=
b
2
+
c
2
2bc
∵bc=a
2
=c
2
-b
2
∴
b=
-1+
5
2
c
∴
S
1
S
2
=
5
+2
2
故答案为:
5
+1
2
,
5
+2
2
举一反三
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F
1
、F
2
,焦距为2c;若以F
2
为圆心,b-c为半径作圆F
2
,过椭圆上任一点P(x
0
,y
0
)作此圆的切线,切点为T,且|PT|的最小值不小于
3
2
(a-c).
(Ⅰ)证明:|PF
2
|的最小值为a-c;
(Ⅱ)求椭圆的离心率e的取值范围;
(Ⅲ)若椭圆的短半轴长为1,圆F
2
与x轴的右交点为Q,过点Q作斜率为2的直线l与椭圆交于A、B两点,若OA⊥OB,求椭圆的方程.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆E:
x
2
a
2
+
y
2
=1
(a>1)的离心率
e=
3
2
,直线x=2t(t>0)与椭圆E交于不同的两点M、N,以线段MN为直径作圆C,圆心为C
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)当圆C与y轴相切的时候,求t的值;
(Ⅲ)若O为坐标原点,求△OMN面积的最大值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知离心率为
3
2
的椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>o)过点M(2,1),O为坐标原点,平行于OM的直线l交椭圆于C不同的两点A,B.
(1)求椭圆的C方程.
(2)证明:若直线MA,MB的斜率分别为k
1
、k
2
,求证:k
1
+k
2
=0.
题型:不详
难度:
|
查看答案
在椭圆
x
2
16
+
y
2
9
=1
内,有一内接三角形ABC,它的一边BC与长轴重合,点A在椭圆上运动,则△ABC的重心的轨迹方程为______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
(1)已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率为
6
3
,椭圆C上任意一点到椭圆两焦点的距离和为6.求椭圆C的方程;
(2)直线l:y=kx+1与双曲线C:2x
2
-y
2
=1的右支交于不同的两点A、B.求实数k的取值范围.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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