已知两点M（2，0）、N（-2，0），平面上动点P满足由|MN|•|MP|+MN•MP=0（1）求动点P的轨迹C的方程．（2）是否存在实数m使直线x+my-4=

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已知两点M（2，0）、N（-2，0），平面上动点P满足由|

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=0
（1）求动点P的轨迹C的方程．
（2）是否存在实数m使直线x+my-4=0（m∈R）与曲线C交于A、B两点，且OA⊥OB？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

答案

（1）设P（x，y），由|

|•|

•

=0，
得4

(x-2)2+y2

+(-4x-8)=0，
化简，得y²=8x，
∴点P的轨迹C的方程为y²=8x．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将x=4-my，代入C的方程，得y²=32-8my，
即y²+8my-32=0，
∴y₁y₂=-32，x1x2=

y12

•

y22

=16，
x₁x₂+y₁y₂=16，
∵OA⊥OB⇔x₁x₂+y₁y₂=0，
∴不存在实数m使OA⊥OB成立．

举一反三

如图，已知双曲线

=1（a＞0，b＞0）其右准线交x轴于点A，双曲线虚轴的下端点为B，过双曲线的右焦点F（c，0）作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，若点D满足：2

（O为原点）且

=λ

(λ≠0)
（1）求双曲线的离心率；
（2）若a=2，过点B的直线l交双曲线于M、N两点，问在y轴上是否存在定点C，使

•

为常数，若存在，求出C点的坐标，若不存在，请说明理由．

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在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y²=8x的焦点为F．椭圆Σ的中心在坐标原点，离心率e=

，并以F为一个焦点．
（1）求椭圆Σ的标准方程；
（2）设A₁A₂是椭圆Σ的长轴（A₁在A₂的左侧），P是抛物线C在第一象限的一点，过P作抛物线C的切线，若切线经过A₁，求证：tan∠A1PA2=

．

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已知点P（-1，

）是椭圆C：

=1（a＞b＞0）上一点，F₁、F₂分别是椭圆C的左、右焦点，O是坐标原点，PF₁⊥x轴．
①求椭圆C的方程；
②设A、B是椭圆C上两个动点，满足

=λ

（0＜λ＜4，且λ≠2）求直线AB的斜率．

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已知椭圆

=1，点P为其上一点，F₁、F₂为椭圆的焦点，Q为射线F₁P延长线上一点，且|PQ|=|PF₂|，设R为F₂Q的中点．
（1）当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；
（2）设点R形成的曲线为C，直线l：y=k（x+4

）与曲线C相交于A、B两点，若∠AOB=90°时，求k的值．

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设椭圆M：

=1（a＞b＞0）经过点P(1，

)，其离心率e=

．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）直线l：y=

x+m交椭圆于A、B两点，且△PAB的面积为

，求m的值．

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