如图,已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)其右准线交x轴于点A,双曲线虚轴的下端点为B,过双曲线的右焦点F(c,0)作垂直于x轴的直线交双曲线于点

如图,已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)其右准线交x轴于点A,双曲线虚轴的下端点为B,过双曲线的右焦点F(c,0)作垂直于x轴的直线交双曲线于点

题型:不详难度:来源:
如图,已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)其右准线交x轴于点A,双曲线虚轴的下端点为B,过双曲线的右焦点F(c,0)作垂直于x轴的直线交双曲线于点P,若点D满足:2


OD
=


OF
+


OP
(O为原点)且


AB


AD
(λ≠0)

(1)求双曲线的离心率;
(2)若a=2,过点B的直线l交双曲线于M、N两点,问在y轴上是否存在定点C,使


CM


CN
为常数,若存在,求出C点的坐标,若不存在,请说明理由.
答案
(1)由题得B(0,-b),A(
a2
c
,0)易得P(c,
b2
a
)
,P(c,
b2
a

∵2O


D
=O


F
+O


P

∴D为线段FP的中点(1分)
∴D(c,
b2
2a
),又A


B
=λA


D



AB


AD
(λ≠0)

即A、B、D共线(2分)
∴而A


B
=(-
a2
c
,-b),A


D
=(c-
a2
c
b2
2a
)
,
∴-
a2
c
b2
2a
-(-b)•(c-
a2
c
)=0
得a=2b
∴e=
c
a
=


1+(
b
a
)2=


1+
1
4
=


5
2
(4分)
(2)∵a=2而e=


5
2
b2=1

∴双曲线方程为
x2
4
-y2=1
①(5分)
∴B(0,-1)
假设存在定点C(0,n)使C


M
•C


N
为常数u,设MN的方程为y=kx-1②(6分)
由②代入①得(1-4k2)x2+8kx-8=0
由题意得





1-4k2≠0
△=64k2+32(1-4k2)>0
k2
1
2
k2
1
4

设M(x1,y1),N(x2,y2),
x1+x2=
8k
4k2-1
x1x2=
8
4k2-1
(8分)
C


M
•C


N
=(x1y1-n)•(x2y2-n)=x1x2+y1y2-n(y1+y2)+n2

=(1+k2)x1x2-k(n+1)(x1+x2)+(n+1)2=
8(1+k2)
4k2-1
-
8k2(n+1)
4k2-1
+(n+1)2=u

整理得:[4(n+1)2-8n-4u]k2+[8-(n+1)2+u]=0(10分)
对满足k2
1
2
k2
1
4
的k恒成立
,





4(n+1)2-8n-4u=0
8-(n+1)2+u=0
解得n=4,u=17
故存在y轴上的定点C(0,4),使C


M
•C


N
为常数17(14分)
举一反三
在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y2=8x的焦点为F.椭圆Σ的中心在坐标原点,离心率e=
1
2
,并以F为一个焦点.
(1)求椭圆Σ的标准方程;
(2)设A1A2是椭圆Σ的长轴(A1在A2的左侧),P是抛物线C在第一象限的一点,过P作抛物线C的切线,若切线经过A1,求证:tan∠A1PA2=


2
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已知点P(-1,
3
2
)是椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)上一点,F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点,O是坐标原点,PF1⊥x轴.
①求椭圆C的方程;
②设A、B是椭圆C上两个动点,满足


PA
+


PB


PO
(0<λ<4,且λ≠2)求直线AB的斜率.
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已知椭圆
x2
16
+
y2
12
=1,点P为其上一点,F1、F2为椭圆的焦点,Q为射线F1P延长线上一点,且|PQ|=|PF2|,设R为F2Q的中点.
(1)当P点在椭圆上运动时,求R形成的轨迹方程;
(2)设点R形成的曲线为C,直线l:y=k(x+4


2
)与曲线C相交于A、B两点,若∠AOB=90°时,求k的值.
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设椭圆M:
y2
a2
+
x2
b2
=1
(a>b>0)经过点P(1,


2
)
,其离心率e=


2
2

(Ⅰ)求椭圆M的方程;
(Ⅱ)直线l:y=


2
x+m
交椭圆于A、B两点,且△PAB的面积为


2
,求m的值.
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已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为e=


3
2
,直线x+y+1=0与椭圆交于P、Q两点,且OP⊥OQ,求该椭圆方程.
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