已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为e=32,直线x+y+1=0与椭圆交于P、Q两点,且OP⊥OQ,求该椭圆方程.

已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为e=32,直线x+y+1=0与椭圆交于P、Q两点,且OP⊥OQ,求该椭圆方程.

题型:不详难度:来源:
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为e=


3
2
,直线x+y+1=0与椭圆交于P、Q两点,且OP⊥OQ,求该椭圆方程.
答案
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
e=


3
2
,∴
c
a
=


3
2
,∴a2=
4
3
c2=b2+c2
,∴a2=4b2
设椭圆方程
x2
4b2
+
y2
b2
=1

联立





x+y+1=0
x2
4b2
+
y2
b2
=1
消y得5x2+8x+4-4b2=0,
∵直线x+y+1=0与椭圆交于P、Q两点,∴△=64-4×5×(4-4b2)>0,化为5b3>1.





x1+x2=-
8
5
x1x2=
4-4b2
5
(*)
∵OP⊥OQ,∴


OP


OQ
=0

∴x1x2+y1y2=0,∴x1x2+(x1+1)(x2+1)=0.
∴2x1x2+x1+x2+1=0,
把(*)代入可得2
4-4b2
5
+(-
8
5
)+1=0,
解得b2=
5
8
,∴b=


10
4
.满足△>0.∴b2=
5
8

a2=
5
2

∴椭圆方程为
x2
5
2
+
y2
5
8
=1
举一反三
已知椭圆C:
x2
25
+
y2
16
=1
,过点(3,0)的且斜率为
4
5
的直线被C所截线段的中点坐标为(  )
A.(
1
2
6
5
)
B.(
1
2
,-
6
5
)
C.(
3
2
6
5
)
D.(
3
2
,-
6
5
)
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已知抛物线y2=6x,过点p(3,1)引一条弦p1p2使它恰好被点p平分,求这条弦所在直线方程及|p1p2|.
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在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程.
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设a、b是非零实数,则方程bx2+ay2=ab及ax+by=0所表示的图形可能是(  )
A.B.C.D.
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已知直线x-y+1=0经过椭圆S:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的一个焦点和一个顶点.
(1)求椭圆S的方程;
(2)如图,M,N分别是椭圆S的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k.
①若直线PA平分线段MN,求k的值;
②对任意k>0,求证:PA⊥PB.
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