已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为e=32,直线x+y+1=0与椭圆交于P、Q两点,且OP⊥OQ,求该椭圆方程.
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已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为e=32,直线x+y+1=0与椭圆交于P、Q两点,且OP⊥OQ,求该椭圆方程.
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率为
e=
3
2
,直线x+y+1=0与椭圆交于P、Q两点,且OP⊥OQ,求该椭圆方程.
答案
设P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
),
∵
e=
3
2
,∴
c
a
=
3
2
,∴
a
2
=
4
3
c
2
=
b
2
+
c
2
,∴a
2
=4b
2
.
设椭圆方程
x
2
4
b
2
+
y
2
b
2
=1
,
联立
x+y+1=0
x
2
4
b
2
+
y
2
b
2
=1
消y得5x
2
+8x+4-4b
2
=0,
∵直线x+y+1=0与椭圆交于P、Q两点,∴△=64-4×5×(4-4b
2
)>0,化为5b
3
>1.
∴
x
1
+
x
2
=-
8
5
x
1
•
x
2
=
4-4
b
2
5
(*)
∵OP⊥OQ,∴
OP
•
OQ
=0
,
∴x
1
x
2
+y
1
y
2
=0,∴x
1
x
2
+(x
1
+1)(x
2
+1)=0.
∴2x
1
x
2
+x
1
+x
2
+1=0,
把(*)代入可得2
4-4
b
2
5
+(
-
8
5
)+1=0,
解得
b
2
=
5
8
,∴
b=
10
4
.满足△>0.∴
b
2
=
5
8
.
∴
a
2
=
5
2
.
∴椭圆方程为
x
2
5
2
+
y
2
5
8
=1
.
举一反三
已知椭圆C:
x
2
25
+
y
2
16
=1
,过点(3,0)的且斜率为
4
5
的直线被C所截线段的中点坐标为( )
A.
(
1
2
,
6
5
)
B.
(
1
2
,-
6
5
)
C.
(
3
2
,
6
5
)
D.
(
3
2
,-
6
5
)
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知抛物线y
2
=6x,过点p(3,1)引一条弦p
1
p
2
使它恰好被点p平分,求这条弦所在直线方程及|p
1
p
2
|.
题型:不详
难度:
|
查看答案
在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C
1
:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的左焦点为F
1
(-1,0),且点P(0,1)在C
1
上.
(1)求椭圆C
1
的方程;
(2)设直线l同时与椭圆C
1
和抛物线C
2
:y
2
=4x相切,求直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
查看答案
设a、b是非零实数,则方程bx
2
+ay
2
=ab及ax+by=0所表示的图形可能是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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已知直线x-y+1=0经过椭圆S:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的一个焦点和一个顶点.
(1)求椭圆S的方程;
(2)如图,M,N分别是椭圆S的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k.
①若直线PA平分线段MN,求k的值;
②对任意k>0,求证:PA⊥PB.
题型:不详
难度:
|
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