在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上.(1)求椭圆C1的方程;(2)
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在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上.(1)求椭圆C1的方程;(2)
题型:不详
难度:
来源:
在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C
1
:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的左焦点为F
1
(-1,0),且点P(0,1)在C
1
上.
(1)求椭圆C
1
的方程;
(2)设直线l同时与椭圆C
1
和抛物线C
2
:y
2
=4x相切,求直线l的方程.
答案
(1)因为椭圆C
1
的左焦点为F
1
(-1,0),所以c=1,
点P(0,1)代入椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
,得
1
b
2
=1
,即b=1,
所以a
2
=b
2
+c
2
=2
所以椭圆C
1
的方程为
x
2
2
+
y
2
=1
.
(2)直线l的斜率显然存在,
设直线l的方程为y=kx+m,
由
x
2
2
+
y
2
=1
y=kx+m
,消去y并整理得(1+2k
2
)x
2
+4kmx+2m
2
-2=0,
因为直线l与椭圆C
1
相切,
所以△=16k
2
m
2
-4(1+2k
2
)(2m
2
-2)=0
整理得2k
2
-m
2
+1=0①
由
y
2
=4x
y=kx+m
,消去y并整理得k
2
x
2
+(2km-4)x+m
2
=0
因为直线l与抛物线C
2
相切,所以△=(2km-4)
2
-4k
2
m
2
=0
整理得km=1②
综合①②,解得
k=
2
2
m=
2
或
k=-
2
2
m=-
2
所以直线l的方程为
y=
2
2
x+
2
或
y=-
2
2
x-
2
.
举一反三
设a、b是非零实数,则方程bx
2
+ay
2
=ab及ax+by=0所表示的图形可能是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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已知直线x-y+1=0经过椭圆S:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的一个焦点和一个顶点.
(1)求椭圆S的方程;
(2)如图,M,N分别是椭圆S的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k.
①若直线PA平分线段MN,求k的值;
②对任意k>0,求证:PA⊥PB.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆┍的方程为
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0),点P的坐标为(-a,b).
(1)若直角坐标平面上的点M、A(0,-b),B(a,0)满足
PM
=
1
2
(
PA
+
PB
),求点M的坐标;
(2)设直线l
1
:y=k
1
x+p交椭圆┍于C、D两点,交直线l
2
:y=k
2
x于点E.若k
1
•k
2
=-
b
2
a
2
,证明:E为CD的中点;
(3)对于椭圆┍上的点Q(acosθ,bsinθ)(0<θ<π),如果椭圆┍上存在不同的两个交点P
1
、P
2
满足
P
P
1
+
P
P
2
=
PQ
,写出求作点P
1
、P
2
的步骤,并求出使P
1
、P
2
存在的θ的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知抛物线C:y
2
=2px(p>0)上横坐标为4的点到焦点的距离为5.
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)设直线y=kx+b与抛物线C交于两点A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),且|y
1
-y
2
|=a(a为正常数).过弦AB的中点M作平行于x轴的直线交抛物线C于点D,连接AD、BD得到△ABD.
(i)求实数a,b,k满足的等量关系;
(ii)△ABD的面积是否为定值?若为定值,求出此定值;若不是定值,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F
1
,F
2
在x轴上,离心率
e=
1
2
.
(1)求椭圆E的方程;
(2)求∠F
1
AF
2
的平分线所在直线l的方程;
(3)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点?若存在,请找出;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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