(1)设P(x,y),∵|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=+=4>2=|AB|…(1分) ∴动点P的轨迹为以A,B为焦点的椭圆,且a=2,c=1,b=…(2分) ∴动点P的轨迹方程即曲线E的方程为+=1…(3分) (2)设P(x0,y0)是曲线E上的任意一点,则有+=1,∴y02=3(1-) 由椭圆的对称性不妨设点P在y轴右侧,即0<x0≤2 则kPS=,kPT=,由到角公式得…(4分)tan∠SPT=====>0 ∴∠SPT为锐角…(6分) ∵0<x0≤2,∴当x0=2时,(tan∠SPT)min=4…(7分) ∴∠SPT的最小值为arctan4…(8分) (3)∵M,N是曲线E上不同的两点,且直线FM和FN的倾斜角互补,则直线FM,FN的斜率存在且不为零. 设直线FM的方程为y=k(x-1)+ 由消y,整理得(4k2+3)x2-4k(2k-3)x+4k2-12k-3=0①…(10分) 设M(x1,y1),N(x2,y2),又F(1,)是直线FM与椭圆的交点,∴方程①的两根为1,x1 由根与系数的关系得x1=②…(11分) ∵直线FM和FN的倾斜角互补,∴直线FN的斜率为-k, 以-k代替②中的k得x2=…(12分) 又y1=k(x1-1)+,y2=-k(x2-1)+∴y1-y2=k(x1+x2-2)=k•(-2)= 而x1-x2=,∴y1-y2=(x1-x2) ∴直线MN的斜率为定值,其定值为…(14分) |