已知椭C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,椭圆的短轴端点与双曲线y22-x2=1的焦点重合,过P(4,0)且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于
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已知椭C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,椭圆的短轴端点与双曲线y22-x2=1的焦点重合,过P(4,0)且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于
题型:不详
难度:
来源:
已知椭C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的离心率为
1
2
,椭圆的短轴端点与双曲线
y
2
2
-
x
2
=1的焦点重合,过P(4,0)且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点.
(Ⅰ)求椭C的方程;
(Ⅱ)求
OA
•
OB
的取值范围.
答案
(I)由双曲线
y
2
2
-
x
2
=1得焦点
(0,±
3
)
,得b=
3
.
又
e=
c
a
=
1
2
,a
2
=b
2
+c
2
,联立解得a
2
=4,c=1.
故椭圆C的方程为
x
2
4
+
y
2
3
=1
;
(II)由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-4),联立
y=k(x-4)
x
2
4
+
y
2
3
=1
,
(4k
2
+3)x
2
-32k
2
x+64k
2
-12=0,
由△=(-32k
2
)
2
-4(4k
2
+3)(64k
2
-12)>0得
k
2
<
1
4
.
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则
x
1
+
x
2
=
32
k
2
4
k
2
+3
,
x
1
x
2
=
64
k
2
-12
4
k
2
+3
,
∴
y
1
y
2
=
k
2
(
x
1
-4)(
x
2
-4)
=
k
2
x
1
x
2
-4
k
2
(
x
1
+
x
2
)+16
k
2
,
∴
OA
•
OB
=x
1
x
2
+y
1
y
2
=
(1+
k
2
)•
64
k
2
-12
4
k
2
+3
-4
k
2
•
32
k
2
4
k
2
+3
+16
k
2
=
25-
87
4
k
2
+3
,
∵
0≤
k
2
<
1
4
,∴
-
87
3
≤
87
4
k
2
+3
<-
87
4
,
∴
OA
•
OB
∈[-4,
13
4
)
.
故
OA
•
OB
的取值范围为
[-4,
13
4
)
.
举一反三
如图,椭圆C:
x
2
4
+
y
2
m
=1(0<m<4)的左顶点为A,M是椭圆C上异于点A的任意一点,点P与点A关于点M对称.
(1)若点P的坐标为(4,3),求m的值;
(2)若椭圆C上存在点M,使得OP⊥OM,求实数m的最大值.
题型:不详
难度:
|
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抛物线y
2
=4x的一条弦被点A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程式为______.
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线过点(3,-2),且与椭圆4x
2
+9y
2
=36有相同焦点,则双曲线的标准方程为______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知直线y=a交抛物线y=x
2
于A,B两点,若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a的取值范围为______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆E:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率为
2
2
,左焦点为F,过原点的直线l交椭圆于M,N两点,△FMN面积的最大值为1.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设P,A,B是椭圆E上异于顶点的三点,Q(m,n)是单位圆x
2
+y
2
=1上任一点,使
OP
=m
OA
+n
OB
.
①求证:直线OA与OB的斜率之积为定值;
②求OA
2
+OB
2
的值.
题型:不详
难度:
|
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