(1)依题意,设椭圆C的方程为+=1,…(1分), ∵椭圆C的焦点为F1(-1,0)、F2(1,0),点P(-1,)在椭圆上, ∴2a=|PF1|+|PF2|=+=2,…(2分), ∴a=,c=1,…(3分), ∴b==1,…(4分), ∴椭圆C的方程为+y2=1.…(4分) (2)根据椭圆和抛物线的对称性, 设M(x0,y0)、N(x0,-x0),(x0,y0>0)…(5分), △OMN的面积S=x0•(2y0)=x0y0,…(6分), ∵M(x0,y0)在椭圆上,∴+y02=1,∴y02=1-, 那么S2=x02y02=x02(1-)=-(x02-1)2+, 当x02=1时,Smax2=, 即当x0=1,(x0>1)时,Smax=. 将x0=1代入y02=1-得,…(8分), ∵M(1,)在抛物线y2=2px上,∴=2p, 解得p=.…(9分), (3)(A)当直线l垂直于x轴时, 根据抛物线的对称性,有∠AF1F2=∠BF1F2, 则kAF2+kBF1=0.…(10分), (B)当直线l与x轴不垂直时, 依题意设直线l的方程为y=k(x-1),k≠0, A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点的坐标满足方程组.…(11分), 化简得2k2x2-(4k2+1)x+2k2=0, 依韦达定理得,…(12分), 又kAF1==,yBF1=, ∴kAF1+kAF1=+ =k(x1-1)(x2+1)+k(x2-1)(x1+1) | (x1+1)(x2+1) |
=, 把代入,得kAF1+kBF1=0, 综上,直线AF1与直线BF1的斜率之和为定值0.…(14分), |