已知抛物线C：y2=12x，点M（-1，0），过M的直线l交抛物线C于A，B两点．（Ⅰ）若线段AB中点的横坐标等于2，求直线l的斜率；（Ⅱ）设点A关于x轴的对称
题型：不详难度：来源：
已知抛物线C：y2=12x，点M（-1，0），过M的直线l交抛物线C于A，B两点．
（Ⅰ）若线段AB中点的横坐标等于2，求直线l的斜率；
（Ⅱ）设点A关于x轴的对称点为A′，求证：直线A′B过定点． |
答案
（Ⅰ）设过点M（-1，0）的直线方程为y=k（x+1），
由得k2x2+（2k2-12）x+k2=0．…（2分）
因为k2≠0，且△=（2k2-12）2-4k4=144-48k2＞0，
所以，k∈(-，0)∪(0，)．…（3分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=1．…（5分）
因为线段AB中点的横坐标等于2，所以==2，…（6分）
解得k=±，符合题意．…（7分）
（Ⅱ）证明：依题意A"（x1，-y1），直线A′B：y-y2=(x-x2)，…（8分）
又=12x1，=12x2，
所以y=(x-x2)+y2，…（9分）=x-…（10分）
因为=144x1x2=144，且y1，y2同号，所以=12，…（11分）
所以y=(x-1)，…（12分）
所以，直线A"B恒过定点（1，0）．…（13分） |
举一反三
设F1(-1，0)，F2(1，0)，动点M满足|MF1|+|MF2|=2．
（1）求M的轨迹C的方程；
（2）设直线l：y=(x-1)与曲线C交于A、B两点，求•的值． |
矩形ABCD的中心在坐标原点，边AB与x轴平行，AB=8，BC=6．E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，R，S，T是线段OF的四等分点，R′，S′，T′是线段CF的四等分点．设直线ER与GR′，ES与GS′，ET与GT′的交点依次为L，M，N．
（1）求以HF为长轴，以EG为短轴的椭圆Q的方程；
（2）根据条件可判定点L，M，N都在（1）中的椭圆Q上，请以点L为例，给出证明（即证明点L在椭圆Q上）．
（3）设线段OF的n（n∈N+，n≥2）等分点从左向右依次为Ri（i=1，2，…，n-1），线段CF的n等分点从上向下依次为Ti（i=1，2，…，n-1），那么直线ERi（i=1，2，…，n-1）与哪条直线的交点一定在椭圆Q上？（写出结果即可，此问不要求证明）
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已知椭圆C：+=1(a＞b＞0)经过点A（2，1），离心率为．过点B（3，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求•的取值范围；
（Ⅲ）设直线AM和直线AN的斜率分别为kAM和kAN，求证：kAM+kAN为定值． |
| 已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F与双曲-=1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|=|AF|，则A点的横坐标为（ ） |
如图，以为离心率的椭圆+=1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A和B，点P是椭圆位于x轴上方的一点，且△PAB的面积最大值为2．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设点Q是椭圆位于x轴下方的一点，直线AP、BQ的斜率分别为k1，k2，若k1=7k2，设△BPQ与△APQ的面积分别为S1，S2，求S1-S2的最大值．
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