矩形ABCD的中心在坐标原点，边AB与x轴平行，AB=8，BC=6．E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，R，S，T是线段OF的四等分点，R′，S′，T′是线段

题型：不详难度：来源：

矩形ABCD的中心在坐标原点，边AB与x轴平行，AB=8，BC=6．E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，R，S，T是线段OF的四等分点，R′，S′，T′是线段CF的四等分点．设直线ER与GR′，ES与GS′，ET与GT′的交点依次为L，M，N．
（1）求以HF为长轴，以EG为短轴的椭圆Q的方程；
（2）根据条件可判定点L，M，N都在（1）中的椭圆Q上，请以点L为例，给出证明（即证明点L在椭圆Q上）．
（3）设线段OF的n（n∈N₊，n≥2）等分点从左向右依次为R_i（i=1，2，…，n-1），线段CF的n等分点从上向下依次为T_i（i=1，2，…，n-1），那么直线ER_i（i=1，2，…，n-1）与哪条直线的交点一定在椭圆Q上？（写出结果即可，此问不要求证明）

答案

（1）由题意，2a=AB=8，2b=BC=6，
∴a=4，b=3，
∴椭圆Q的方程为

=1；
（2）由题意知E（0，-3），R（1，0），G（0，3），R′(4，

)
可得直线ER的方程为y=3x-3，直线GR′的方程为y=-

x+3
联立可解得L(

，

135

)，代入椭圆方程

=1成立，得证．
（3）由（2）知，直线ER_i（i=1，2，…，n-1）与直线GT_i（i=1，2，…，n-1）的交点一定在椭圆Q上．

举一反三

已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)经过点A（2，1），离心率为

．过点B（3，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求

•

的取值范围；
（Ⅲ）设直线AM和直线AN的斜率分别为k_AM和k_AN，求证：k_AM+k_AN为定值．

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已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F与双曲

=1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|=

|AF|，则A点的横坐标为（　　）

A．2

B．3

C．2

D．4

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如图，以

为离心率的椭圆

=1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A和B，点P是椭圆位于x轴上方的一点，且△PAB的面积最大值为2．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设点Q是椭圆位于x轴下方的一点，直线AP、BQ的斜率分别为k₁，k₂，若k₁=7k₂，设△BPQ与△APQ的面积分别为S₁，S₂，求S₁-S₂的最大值．

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在平面直角坐标系xOy中，动点p（x，y）（x≥0）满足：点p到定点F（

，0）与到y轴的距离之差为

．记动点p的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）过点F的直线交曲线C于A、B两点，过点A和原点O的直线交直线x=-

于点D，求证：直线DB平行于x轴．

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已知曲线C：

m+2

3-m

=1（m∈R）．
（Ⅰ）若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；
（Ⅱ）设m=2，过点D（0，4）的直线l与曲线C交于M，N两点，O为坐标原点，若∠OMN为直角，求直线l的斜率．

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