在平面直角坐标系xOy中,动点p(x,y)(x≥0)满足:点p到定点F(12,0)与到y轴的距离之差为12.记动点p的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的轨迹方程;(
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在平面直角坐标系xOy中,动点p(x,y)(x≥0)满足:点p到定点F(12,0)与到y轴的距离之差为12.记动点p的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的轨迹方程;(
题型:不详
难度:
来源:
在平面直角坐标系xOy中,动点p(x,y)(x≥0)满足:点p到定点F(
1
2
,0)与到y轴的距离之差为
1
2
.记动点p的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的轨迹方程;
(2)过点F的直线交曲线C于A、B两点,过点A和原点O的直线交直线x=-
1
2
于点D,求证:直线DB平行于x轴.
答案
(1)依题意:|PF|-x=
1
2
…(2分)
∴
(x-
1
2
)
2
+
y
2
=
1
2
+x
(x-
1
2
)
2
+y
2
=(x+
1
2
)
2
…(4分)
∴y
2
=2x…(6分)
注:或直接用定义求解.
(2)设A的坐标为(
y
0
2
2
,
y
0
),则OM的方程为y=
2
y
0
x(y
0
≠0),
∴点D的纵坐标为y=
-
1
y
0
,
∵F(
1
2
,0)
∴直线AF的方程为
y=
y
0
y
0
2
2
-
1
2
(x-
1
2
),(
y
0
2
≠1)
∴点B的纵坐标为y=
-
1
y
0
.
∴BD
∥
x轴;当y
0
2
=1时,结论也成立,
∴直线DB平行于x轴.
举一反三
已知曲线C:
x
2
m+2
+
y
2
3-m
=1
(m∈R).
(Ⅰ)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,求m的取值范围;
(Ⅱ)设m=2,过点D(0,4)的直线l与曲线C交于M,N两点,O为坐标原点,若∠OMN为直角,求直线l的斜率.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C的焦点为F
1
(-1,0)、F
2
(1,0),点P(-1,
2
2
)在椭圆上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若抛物线E:y
2
=2px(p>0)与椭圆C相交于点M、N,当△OMN(O是坐标原点)的面积取得最大值时,求P的值.
(3)在(2)的条件下,过点F
2
作任意直线l与抛物线E相交于点A、B两点,则直线AF
1
与直线BF
1
的斜率之和是否为定值?若是,求出定值;若不是,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)经过点
(
3
,-
3
2
)
,且椭圆的离心率e=
1
2
,过椭圆的右焦点F作两条互相垂直的直线,分别交椭圆于点A、B及C、D.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求证:
1
|AB|
+
1
|CD|
为定值;
(Ⅲ)求|AB|+
9
16
|CD|的最小值.
题型:不详
难度:
|
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设椭圆的中心为坐标原点O,焦点在x轴上,焦距为2,F为右焦点,B
1
为下顶点,B
2
为上顶点,
S
△
B
1
F
B
2
=1
.
(I)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线l同时满足下列三个条件:①与直线B
1
F平行;②与椭圆交于两个不同的点P、Q;③
S
△POQ
=
2
3
,求直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
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直线y=kx与双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
的左右两支都有交点的充要条件是k∈(-1,1),且该双曲线与直线y=
1
2
x-
3
2
相交所得弦长为
4
15
3
,则该双曲线方程为______.
题型:不详
难度:
|
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