设F1(-1,0),F2(1,0),动点M满足|MF1|+|MF2|=22.(1)求M的轨迹C的方程;(2)设直线l:y=77(x-1)与曲线C交于A、B两点,
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设F1(-1,0),F2(1,0),动点M满足|MF1|+|MF2|=22.(1)求M的轨迹C的方程;(2)设直线l:y=77(x-1)与曲线C交于A、B两点,
题型:不详
难度:
来源:
设
F
1
(-1,0),
F
2
(1,0),动点M满足|M
F
1
|+|M
F
2
|=2
2
.
(1)求M的轨迹C的方程;
(2)设直线
l:y=
7
7
(x-1)
与曲线C交于A、B两点,求
F
1
A
•
F
1
B
的值.
答案
(1)设动点M(x,y),
∵F
1
(-1,0),F
2
(1,0),∴
|M
F
1
|+|M
F
2
|=2
2
>2=|
F
1
F
2
|
,
则M的轨迹为以F
1
,F
2
为焦点,以2
2
为长轴的椭圆,
则
a=
2
,c=1,
b
2
=
a
2
-
c
2
=1
.
方程为:
x
2
2
+
y
2
=1
;
(2)联立
y=
7
7
(x-1)
x
2
2
+
y
2
=1
,得9x
2
-4x-12=0.
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
则
x
1
+
x
2
=
4
9
,
x
1
x
2
=-
12
9
.
F
1
A
=(
x
1
+1,
y
1
),
F
1
B
=(
x
2
+1,
y
2
)
,
∴
F
1
A
•
F
1
B
=(x
1
+1,y
1
)•(x
2
+1,y
2
)
=(x
1
+1)(x
2
+1)+y
1
y
2
=
8
7
x
1
x
2
+
6
7
(
x
1
+
x
2
)+
8
7
=
8
7
×(-
12
9
)+
6
7
×
4
9
+
8
7
=0
.
举一反三
矩形ABCD的中心在坐标原点,边AB与x轴平行,AB=8,BC=6.E,F,G,H分别是矩形四条边的中点,R,S,T是线段OF的四等分点,R′,S′,T′是线段CF的四等分点.设直线ER与GR′,ES与GS′,ET与GT′的交点依次为L,M,N.
(1)求以HF为长轴,以EG为短轴的椭圆Q的方程;
(2)根据条件可判定点L,M,N都在(1)中的椭圆Q上,请以点L为例,给出证明(即证明点L在椭圆Q上).
(3)设线段OF的n(n∈N
+
,n≥2)等分点从左向右依次为R
i
(i=1,2,…,n-1),线段CF的n等分点从上向下依次为T
i
(i=1,2,…,n-1),那么直线ER
i
(i=1,2,…,n-1)与哪条直线的交点一定在椭圆Q上?(写出结果即可,此问不要求证明)
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
经过点A(2,1),离心率为
2
2
.过点B(3,0)的直线l与椭圆C交于不同的两点M,N.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)求
BM
•
BN
的取值范围;
(Ⅲ)设直线AM和直线AN的斜率分别为k
AM
和k
AN
,求证:k
AM
+k
AN
为定值.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线y
2
=2px(p>0)的焦点F与双曲
x
2
4
-
y
2
5
=1
的右焦点重合,抛物线的准线与x轴的交点为K,点A在抛物线上且
|AK|=
2
|AF|
,则A点的横坐标为( )
A.
2
2
B.3
C.
2
3
D.4
题型:不详
难度:
|
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如图,以
3
2
为离心率的椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的左右顶点分别为A和B,点P是椭圆位于x轴上方的一点,且△PAB的面积最大值为2.
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)设点Q是椭圆位于x轴下方的一点,直线AP、BQ的斜率分别为k
1
,k
2
,若k
1
=7k
2
,设△BPQ与△APQ的面积分别为S
1
,S
2
,求S
1
-S
2
的最大值.
题型:不详
难度:
|
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在平面直角坐标系xOy中,动点p(x,y)(x≥0)满足:点p到定点F(
1
2
,0)与到y轴的距离之差为
1
2
.记动点p的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的轨迹方程;
(2)过点F的直线交曲线C于A、B两点,过点A和原点O的直线交直线x=-
1
2
于点D,求证:直线DB平行于x轴.
题型:不详
难度:
|
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