(Ⅰ)∵双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上, 离心率为2,其一个顶点的坐标是(,0), ∴设双曲线方程为-=1, ∴,解得a=,c=, b2=()2-()2=1, ∴双曲线C的标准方程为3x2-y2=1. (Ⅱ)假设存在实数k,使得以线段AB为直径的圆过坐标的原点. 将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程3x2-y2=1后, 整理得(k2-3)x2+2kx+2=0,…① 依题意,直线l与双曲线C交于不同两点, ∴, 解得k的取值范围是-<k<, 设A、B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则由①式得,…② y1y2=(kx1+1)(kx2+1) =k2x1x2+k(x1+x2)+1, 假设存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点(0,0), 则由FA⊥FB得:x1x2+y1y2=0,…③ 把②式代入③式得:(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=0 ∴(1+k2)•++1=0, 解得k=-1,或k=1, ∴1和-1都在(-,)内, ∴存在实数k=±1,使得以AB为直径的圆经过坐标原点. |