设A,B分别为椭圆x2a2+y2b2=1(a,b>0)的左、右顶点,椭圆长半轴的长等于焦距,且x=4为它的右准线.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设P为右准线上不同于
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设A,B分别为椭圆x2a2+y2b2=1(a,b>0)的左、右顶点,椭圆长半轴的长等于焦距,且x=4为它的右准线.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设P为右准线上不同于
题型:不详
难度:
来源:
设A,B分别为椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a,b>0)
的左、右顶点,椭圆长半轴的长等于焦距,且x=4为它的右准线.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设P为右准线上不同于点(4,0)的任意一点,若直线AP,BP分别与椭圆相交于异于A,B的点M、N,证明点B在以MN为直径的圆内.
(此题不要求在答题卡上画图)
答案
(Ⅰ)依题意得a=2c,
a
2
c
=4,
解得a=2,c=1,从而b=
3
.
故椭圆的方程为
x
2
4
+
y
2
3
=1
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得A(-2,0),B(2,0).
设M(x
0
,y
0
).
∵M点在椭圆上,
∴y
0
2
=
3
4
(4-x
0
2
)(1)
又点M异于顶点A、B,
∴-2<x
0
<2,由P、A、M三点共线可以得
P(4,
6
y
0
x
0
+2
).
从而
BM
=(x
0
-2,y
0
),
BP
=(2,
6
y
0
x
0
+2
).
∴
BM
•
BP
=2x
0
-4+
6
y
0
2
x
0
+2
=
2
x
0
+2
(x
0
2
-4+3y
0
2
).(2)
将(1)代入(2),化简得
BM
•
BP
=
5
2
(2-x
0
).
∵2-x
0
>0,
∴
BM
•
BP
>0,则∠MBP为锐角,从而∠MBN为钝角,
故点B在以MN为直径的圆内.
举一反三
已知O为坐标原点,F是抛物线E:y
2
=4x的焦点.
(Ⅰ)过F作直线l交抛物线E于P,Q两点,求
OP
•
OQ
的值;
(Ⅱ)过点T(t,0)作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A,B,C,D四点,且M,N分别为线段AB,CD的中点,求△TMN的面积最小值.
题型:不详
难度:
|
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k为何值时,直线y=kx+2和椭圆2x
2
+3y
2
=6有两个交点( )
A.-
6
3
<k<
6
3
B.k>
6
3
或k<-
6
3
C.-
6
3
≤k≤
6
3
D.k≥
6
3
或k≤-
6
3
题型:不详
难度:
|
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已知F
1
,F
2
为椭圆
x
2
+
y
2
2
=1
上的两个焦点,A,B是过焦点F
1
的一条动弦,则△ABF
2
的面积的最大值为( )
A.
2
2
B.
2
C.1
D.
2
2
题型:不详
难度:
|
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如图所示,设点F坐标为(1,0),点P在y轴上运动,点M在x轴运动上,其中
PM
•
PF
=0,若动点N满足条件
PN
=
MP
(Ⅰ)求动点N的轨迹E的方程;
(Ⅱ)过点F(1,0)的直线l和l′分别与曲线E交于A、B两点和C、D两点,若l⊥l′,试求四边形ACBD的面积的最小值.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的离心率为
2
2
,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F
1
,F
2
为顶点的三角形的周长为4(
2
+1),一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设P为该双曲线上异于顶点的任一点,直线PF
1
和PF
2
与椭圆的交点分别为A、B和C、D.
(Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程;
(Ⅱ)设直线PF
1
、PF
2
的斜率分别为k
1
、k
2
,证明k
1
•k
2
=1;
(Ⅲ)(此小题仅理科做)是否存在常数λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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