如图所示,设点F坐标为(1,0),点P在y轴上运动,点M在x轴运动上,其中PM•PF=0,若动点N满足条件PN=MP(Ⅰ)求动点N的轨迹E的方程;(Ⅱ)过点F(
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如图所示,设点F坐标为(1,0),点P在y轴上运动,点M在x轴运动上,其中PM•PF=0,若动点N满足条件PN=MP(Ⅰ)求动点N的轨迹E的方程;(Ⅱ)过点F(
题型:不详
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来源:
如图所示,设点F坐标为(1,0),点P在y轴上运动,点M在x轴运动上,其中
PM
•
PF
=0,若动点N满足条件
PN
=
MP
(Ⅰ)求动点N的轨迹E的方程;
(Ⅱ)过点F(1,0)的直线l和l′分别与曲线E交于A、B两点和C、D两点,若l⊥l′,试求四边形ACBD的面积的最小值.
答案
(Ⅰ)设N(x,y),M(x
0
,0),P(0,y
0
),F(1,0),
则
PM
=(x
0
,-y
0
),
PN
=(x,y-y
0
),
PF
=(1,-
y
0
)
,
由
PM
•
PF
=0,得x
0
+
y
0
2
=0①
由
PN
=
MP
,得
PN
+
PM
=0
,得(x+x
0
,y-2y
0
)=0,即
x+
x
0
=0
y-2
y
0
=0
,∴
x
0
=-x
y
0
=
y
2
.
代入①得,y
2
=4x即为所求;
(Ⅱ)设l方程为y=k(x-1),由
y
2
=4x
y=k(x-1)
,消去x,得y
2
-
4
k
-4=0
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则y
1
y
2
=-4,
y
1
+
y
2
=
4
k
,于是
|AB|=
1+
1
k
2
|
y
1
-
y
2
|=
(1+
1
k
2
)[(
y
1
+
y
2
)
2
-4
y
1
y
2
]
=
(1+
1
k
2
)(
16
k
2
+16)
=4+
4
k
2
,
设l′的方程为y=
-
1
k
(x-1)
,由
y
2
=4x
y=-
1
k
(x-1)
,消去x,得y
2
+4ky-4=0.
设C(x
3
,y
3
),D(x
4
,y
4
),则y
3
y
4
=4,y
3
+y
4
=-4k.
∴
|CD|=
1+
k
2
|
y
3
-
y
4
|=
(1+
k
2
)[(
y
3
+
y
4
)
2
-4
y
3
y
4
]
.
∴
|CD|=4+
4
(-
1
k
)
2
=4+4
k
2
.
于是
S
ABCD
=
1
2
|AB|•|CD|=
1
2
(4+
4
k
2
)(4+4
k
2
)
=
8(2+
k
2
+
1
k
2
)≥8(2+2
k
2
•
1
k
2
)=32
.
举一反三
如图,已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的离心率为
2
2
,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F
1
,F
2
为顶点的三角形的周长为4(
2
+1),一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设P为该双曲线上异于顶点的任一点,直线PF
1
和PF
2
与椭圆的交点分别为A、B和C、D.
(Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程;
(Ⅱ)设直线PF
1
、PF
2
的斜率分别为k
1
、k
2
,证明k
1
•k
2
=1;
(Ⅲ)(此小题仅理科做)是否存在常数λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.
题型:不详
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(1)求曲线E的方程;
(2)设P、Q为E上两点,
OP
•
OQ
=0
,过原点O作直线PQ的垂线,垂足为M,证明|OM|为定值.
题型:不详
难度:
|
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直线x=ky+3与双曲线
x
2
9
-
y
2
4
=1
只有一个公共点,则k的值有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.无数多个
题型:不详
难度:
|
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1
(-1,0)与点F
2
(1,0)的距离之和为4.
(1)试求点A的轨迹M的方程;
(2)若斜率为
1
2
的直线l与轨迹M交于C、D两点,点
P(1,
3
2
)
为轨迹M上一点,记直线PC的斜率为k
1
,直线PD的斜率为k
2
,试问:k
1
+k
2
是否为定值?请证明你的结论.
题型:不详
难度:
|
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过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与抛物线y
2
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题型:不详
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